స్థాన విలువ, రోమన్ సంఖ్యలు, ఒక పరిధిలో అంకెల…

ముఖ్య వాస్తవాలు

భారతీయ పద్ధతి: ఒకట్లు, పదులు, వందలు, వేలు, పదివేలు, లక్షలు, పది లక్షలు, కోట్లు, పది కోట్లు. కామాలు: 4,52,46,317.
అంతర్జాతీయ పద్ధతి: వేలు, మిలియన్లు, బిలియన్లు. ప్రతి మూడు అంకెలకు ఒక కామా: 45,246,317.
1 లక్ష = 100 వేలు; 10 లక్షలు = 1 మిలియన్; 1 కోటి = 10 మిలియన్లు; 100 కోట్లు = 1 బిలియన్.
స్థాన విలువ (place value) = అంకె × దాని స్థానం; సహజ విలువ (face value) = ఆ అంకెనే. 0 స్థాన విలువ 0.
రోమన్ సంఖ్యలు (Roman numerals): I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1,000.
- ఈ తీసివేత జతలు మాత్రమే: IV (4), IX (9), XL (40), XC (90), CD (400), CM (900).
- I, X, C, M గరిష్ఠంగా మూడు సార్లు పునరావృతం కావచ్చు; V, L, D ఎప్పుడూ పునరావృతం కావు, ఎప్పుడూ తీసివేయబడవు.
- సున్నాకు రోమన్ గుర్తు లేదు.
సంఖ్యలు రాయడానికి వాడే అంకెలు: 1–9కి 9; 10–99కి 180; 100–999కి 2,700. కాబట్టి 1–99కి 189, 1–999కి 2,889.

ఉదాహరణ 1. 3,87,45,612లో 8 స్థాన విలువ. సాధన. 8 పది లక్షల స్థానంలో ఉంది: 8 × 10,00,000. సమాధానం: 80,00,000 (8 మిలియన్లు)

ఉదాహరణ 2. MCMXCIV ను అంకెల్లో రాయండి. సాధన. M = 1,000; CM = 900; XC = 90; IV = 4. సమాధానం: 1,994

ఉదాహరణ 3. 1 నుంచి 60 వరకు సంఖ్యలు రాయడానికి ఎన్ని అంకెలు వాడతారు? సాధన. 9 ఒక అంకె సంఖ్యలు, తర్వాత 51 రెండు అంకెల సంఖ్యలు (10–60): 9 + 102. సమాధానం: 111

వివరణ

రకం 1: పునరావృతమైన అంకెల స్థాన విలువలు.

ఉదాహరణ 4. 4,52,46,317లోని రెండు 4ల స్థాన విలువల మధ్య భేదం. (a) 3,99,60,000 (b) 4,00,00,000 (c) 3,99,96,000 (d) 39,960 సాధన. మొదటి 4 కోటి స్థానంలో ఉంది: 4,00,00,000. రెండోది పదివేల స్థానంలో ఉంది: 40,000. భేదం = 3,99,60,000. సమాధానం: (a) 3,99,60,000

రకం 2: రెండు పద్ధతుల్లోనూ సంఖ్యల పేర్లు.

ఉదాహరణ 5. "ఏడు కోట్ల నాలుగు లక్షల ముప్పై వేల తొమ్మిది" (seven crore four lakh thirty thousand nine) ని అంకెల్లో రాసి, అంతర్జాతీయ పద్ధతిలో చదవండి. సాధన. 7,04,30,009 = 70,430,009, దీన్ని "డెబ్బై మిలియన్ నాలుగు వందల ముప్పై వేల తొమ్మిది" (seventy million four hundred thirty thousand nine) అని చదువుతారు. సమాధానం: 7,04,30,009

రకం 3: రోమన్ సంఖ్యలు రాయడం. సంఖ్యను వేలు, వందలు, పదులు, ఒకట్లుగా విడదీసి, ఒక్కో భాగాన్ని రాయండి.

ఉదాహరణ 6. 2,749 ను రోమన్ సంఖ్యల్లో రాయండి. సాధన. 2,000 = MM; 700 = DCC; 40 = XL; 9 = IX. సమాధానం: MMDCCXLIX

రకం 4: వాడిన అంకెల నుంచి పేజీలు.

ఉదాహరణ 7. ఒక పుస్తకం పేజీలకు పేజీ 1 నుంచి సంఖ్యలు వేయడానికి 1,002 అంకెలు వాడారు. పుస్తకంలో ఎన్ని పేజీలు ఉన్నాయి? సాధన. 1–99 పేజీలకు 189 అంకెలు. మిగిలిన 813 అంకెలు 813 ÷ 3 = 271 మూడు అంకెల పేజీలను ఇస్తాయి (100 నుంచి 370). సమాధానం: 370

ఉదాహరణ 8. 1 నుంచి 1,000 వరకు రాయడానికి ఎన్ని అంకెలు వాడతారు? సాధన. 9 + 180 + 2,700 + 4. సమాధానం: 2,893

రకం 5: ఒక అంకెను ఎన్నిసార్లు రాస్తారు. ప్రతి స్థానాన్నీ విడిగా లెక్కించండి.

ఉదాహరణ 9. 1 నుంచి 500 వరకు అంకె 5ను ఎన్నిసార్లు రాస్తారు? కనీసం ఒక 5 ఉన్న సంఖ్యలు ఎన్ని? సాధన. ఒకట్ల స్థానం: 5, 15, …, 495 → 50. పదుల స్థానం: 5 వందల్లో ఒక్కోదానిలో 50–59 → 50. వందల స్థానం: 500 మాత్రమే → 1. మొత్తం 101. 5 ఉన్న సంఖ్యలను లెక్కించడానికి, 5 లేని 0–499 సంఖ్యలను లెక్కించండి: 5 × 9 × 9 = 405. ఇందులో 0 కూడా ఉంది, కాబట్టి 1–499లో 404. అంటే 1–499లో 5 ఉన్నవి 499 − 404 = 95; దానికి 500 కూడా కలపాలి. సమాధానం: 101 సార్లు; 96 సంఖ్యలు

రకం 6: పూరక లెక్కింపు. "కనీసం ఒకటి ఉన్నవి" = మొత్తం − "ఒక్కటీ లేనివి".

ఉదాహరణ 10. 1 నుంచి 400 వరకు ఉన్న సంఖ్యల్లో అంకె 4 కనీసం ఒకసారి ఉన్నవి ఎన్ని? సాధన. 0 నుంచి 399 వరకు 4 లేని సంఖ్యలు: వందల స్థానంలో 0–3 (4 ఎంపికలు) × 9 × 9 = 324. ఇందులో 0 కూడా ఉంది, కాబట్టి 1–399లో 323. 400లో 4 ఉంది. కాబట్టి 1–400లో 4 ఉన్నవి 400 − 323 = 77. సమాధానం: 77

వేగ చిట్కాలు.

"అంకెను ఎన్నిసార్లు రాస్తారు" అంటే 55ను రెండుసార్లు లెక్కిస్తాం; "ఆ అంకె ఉన్న సంఖ్యలు ఎన్ని" అంటే 55ను ఒకసారే లెక్కిస్తాం.
పేజీ సమస్యల్లో 3తో భాగించే ముందు 189 (1–99 పేజీలు) తీసివేయండి.

లోతైన విశ్లేషణ

ఉదాహరణ 11. 1, 2, 3, … వరుసగా రాసి 99 అంకెల సంఖ్య ఏర్పరిచారు. (i) చివరగా రాసిన సంఖ్య, (ii) ఆ 99 అంకెల సంఖ్యను 8తో భాగిస్తే శేషం కనుక్కోండి. (a) 54, 2 (b) 54, 4 (c) 49, 2 (d) 55, 6 సాధన. (i) 1–9కి 9 అంకెలు పోగా 90 అంకెలు మిగులుతాయి = 45 రెండు అంకెల సంఖ్యలు, 10 నుంచి 54. (ii) సంఖ్య …5354తో ముగుస్తుంది; దాని చివరి మూడు అంకెలు 354ను 8తో భాగిస్తే శేషం 2. సమాధానం: (a) 54, 2

ఆ సంఖ్య అంకెల మొత్తానికి 9 పై వచ్చే శేషం, 1 + 2 + … + 54 = 1,485 కు వచ్చే శేషంతో సమానం. 1,485ను 9తో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు, కాబట్టి ఆ సంఖ్య కూడా 9తో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది.

ఉదాహరణ 12. 123456789101112… అనే వరుసలో 200వ స్థానంలో ఏ అంకె ఉంది? సాధన. 1–9కి 9 స్థానాలు; 10–99కి 180 (మొత్తం 189). 11 స్థానాలు మిగిలాయి: 100, 101, 102 కలిపి 9 వాడతాయి (198), కాబట్టి 199, 200 స్థానాలు 103 యొక్క మొదటి రెండు అంకెలు: "1", "0". సమాధానం: 0

ఉదాహరణ 13. CDXLIV + LVI ను రోమన్ సంఖ్యల్లో కనుక్కోండి. సాధన. 444 + 56 = 500 = D. సమాధానం: D

ఉదాహరణ 14. మూడు అంకెలూ వేర్వేరుగా ఉండే మూడు అంకెల సంఖ్యలు ఎన్ని? సాధన. వందల స్థానం: 9 ఎంపికలు (1–9). పదుల స్థానం: 9 (మొదటిది తప్ప 0–9). ఒకట్ల స్థానం: 8. 9 × 9 × 8. సమాధానం: 648

ఉదాహరణ 15. 1 నుంచి 999 వరకు రాయడానికి వాడిన అన్ని అంకెల మొత్తం కనుక్కోండి. సాధన. సంఖ్యలను 000 నుంచి 999గా తీసుకోండి: 3 స్థానాల్లో ప్రతిదానిలో 0–9 ప్రతి అంకె సరిగ్గా 100 సార్లు వస్తుంది. మొత్తం = 3 × 100 × 45. సమాధానం: 13,500

అదే విధంగా, 1 నుంచి 99 వరకు 2 × 10 × 45 = 900.
సున్నాలు ప్రత్యేకం: 1 నుంచి 1,000 వరకు అంకె 0ను 192 సార్లు రాస్తారు (ఒకట్ల స్థానంలో 100, పదుల స్థానంలో 91, వందల స్థానంలో 1), 0 ఉన్న సంఖ్యలు 181. స్థానం వారీగా లెక్కించండి; ముందు సున్నాలు చేర్చి లెక్కించవద్దు.

తరచూ చేసే పొరపాట్లు

✗ "1 మిలియన్ = 1 కోటి." ✓ 1 మిలియన్ = 10 లక్షలు; 1 కోటి = 10 మిలియన్లు.
✗ "1,999 = MIM." ✓ ఆరు జతల్లో మాత్రమే తీసివేయండి: MCMXCIX.
✗ "4 = IIII, 40 = XXXX." ✓ ఏ గుర్తూ నాలుగుసార్లు పునరావృతం కాదు: IV, XL.
✗ "1,002 అంకెలు ÷ 3 = 334 పేజీలు." ✓ 1–99 పేజీలకు 189 అంకెలే వాడతారు: 370 పేజీలు.
✗ "1 నుంచి 500 వరకు అంకె 5ను 96 సార్లు రాస్తారు." ✓ 96 అనేది 5 ఉన్న సంఖ్యల లెక్క; అంకెను 101 సార్లు రాస్తారు.
✗ "1 నుంచి 399 వరకు 4 లేని సంఖ్యలు = 4 × 9 × 9 = 324." ✓ ఇది 0ను కూడా లెక్కిస్తుంది: 323.

త్వరిత పునశ్చరణ

1 లక్ష = 100,000; 10 లక్షలు = 1 మిలియన్; 1 కోటి = 10 మిలియన్లు; 100 కోట్లు = 1 బిలియన్.
స్థాన విలువ = అంకె × స్థానం; సహజ విలువ = అంకె.
రోమన్: I 1, V 5, X 10, L 50, C 100, D 500, M 1,000.
తీసివేత జతలు: IV, IX, XL, XC, CD, CM మాత్రమే.
V, L, D ఎప్పుడూ పునరావృతం కావు; I, X, C, M గరిష్ఠంగా మూడుసార్లు.
అంకెలు: 9 (1–9), 180 (10–99), 2,700 (100–999).
అంకెల నుంచి పేజీలు: (అంకెలు − 189)/3 + 99.
ఒక అంకెను స్థానం వారీగా లెక్కించండి; అది ఉన్న సంఖ్యలను పూరక పద్ధతిలో.
అంకెల మొత్తం 1–99 = 900; 1–999 = 13,500.

Medha AI writes its own notes and checks them against the sources listed. Medha AI is an independent preparation service. It is not affiliated with, endorsed by or connected to APPSC, TGPSC (formerly TSPSC), MPSC, UPSC or any other commission or government body.