బైనరీ అంకగణితం, పూరకాలు; లాజిక్ గేట్‌లు…

ముఖ్య వాస్తవాలు

బైనరీ కూడిక: 0 + 0 = 0; 0 + 1 = 1; 1 + 1 = 10 (0, క్యారీ (carry) 1); 1 + 1 + 1 = 11 (1, క్యారీ 1).
బైనరీ తీసివేత: 0 − 0 = 0; 1 − 0 = 1; 1 − 1 = 0; 0 − 1 = 1, బారో (borrow) 1.
గుణకారం: 0 × 0 = 0 × 1 = 0, 1 × 1 = 1 (జరిపి కలపడం). భాగహారం: పదే పదే జరిపి తీసివేయడం.
1 యొక్క పూరకం (1's complement): ప్రతి బిట్‌ను (bit) తిప్పండి (0 ↔ 1). 2 యొక్క పూరకం = 1 యొక్క పూరకం + 1.
దశాంశ సమానాలు: 9 యొక్క పూరకం (ప్రతి అంకెను 9 నుంచి తీసివేయడం), 10 యొక్క పూరకం (9 యొక్క పూరకం + 1).
కంప్యూటర్లు కలపడం ద్వారా తీసివేస్తాయి: తీసివేయవలసిన సంఖ్య యొక్క 2 యొక్క పూరకాన్ని కలుపుతాయి.
n-బిట్ 2 యొక్క పూరకం పరిధి (range): −2ⁿ⁻¹ నుంచి 2ⁿ⁻¹ − 1; 8 బిట్‌లు: −128 నుంచి +127. ఎంఎస్‌బీ (MSB) సంజ్ఞ బిట్ (sign bit) (0 = +, 1 = −).
ప్రాథమిక గేట్‌లు: ఆండ్ (AND), ఆర్ (OR), నాట్ (NOT). సార్వత్రిక గేట్‌లు (universal gates): నాండ్ గేట్ (NAND), నార్ గేట్ (NOR). ఇతరాలు: ఎక్స్‌ఓఆర్ (XOR), ఎక్స్‌ఎన్‌ఓఆర్ (XNOR).

గేట్	సమీకరణం	అవుట్‌పుట్ 1 ఎప్పుడు
AND	A·B	అన్ని ఇన్‌పుట్‌లు 1 అయినప్పుడు
OR	A + B	కనీసం ఒక ఇన్‌పుట్ 1 అయినప్పుడు
NOT	A′	ఇన్‌పుట్ 0 అయినప్పుడు
NAND	(A·B)′	అన్ని ఇన్‌పుట్‌లు 1 కానప్పుడు
NOR	(A + B)′	అన్ని ఇన్‌పుట్‌లు 0 అయినప్పుడు
XOR	A ⊕ B	ఇన్‌పుట్‌లు వేరుగా ఉన్నప్పుడు
XNOR	(A ⊕ B)′	ఇన్‌పుట్‌లు సమానంగా ఉన్నప్పుడు

n ఇన్‌పుట్‌లకు (inputs) సత్య పట్టికలో (truth table) 2ⁿ అడ్డు వరుసలు ఉంటాయి.
డీ మోర్గన్ (De Morgan): (A + B)′ = A′·B′, (A·B)′ = A′ + B′.

ఉదాహరణ 1. 10110₂, 01101₂ లను కలపండి. సాధన. 22 + 13 = 35. క్యారీలతో నిలువు వరుస వారీగా కలిపితే 100011 వస్తుంది. సమాధానం: 100011₂

వివరణ

1. నాలుగు ప్రక్రియలు.

ఉదాహరణ 2. 10110₂ − 01101₂ కనుగొనండి. సాధన. 22 − 13 = 9. సమాధానం: 1001₂

ఉదాహరణ 3. 1011₂ ను 101₂ తో గుణించండి. సాధన. 1011 × 1 = 1011; తర్వాతి బిట్ 0 → 00000; తర్వాతి బిట్ 1 → 101100. మొత్తం 1011 + 101100 = 110111. సరిచూడటం: 11 × 5 = 55. సమాధానం: 110111₂

ఉదాహరణ 4. 110110₂ ను 110₂ తో భాగించండి. సాధన. 54 ÷ 6 = 9. సమాధానం: 1001₂

2. పూరకాలు.

ఉదాహరణ 5. 01011010 యొక్క 1 యొక్క పూరకం, 2 యొక్క పూరకం కనుగొనండి. సాధన. తిప్పితే: 10100101. 1 కలిపితే: 10100110. సమాధానం: 10100101, 10100110 2 యొక్క పూరకానికి సులభ మార్గం: కుడి నుంచి మొదటి 1 వరకు (దానితో సహా) బిట్‌లను అలాగే రాసి, మిగతావాటిని తిప్పండి.

ఉదాహరణ 6. −25 ను 8-బిట్ 2 యొక్క పూరకంలో రాయండి. (a) 10011001 (b) 11100110 (c) 11100111 (d) 00011001 సాధన. +25 = 00011001; తిప్పితే → 11100110; + 1 → 11100111. సమాధానం: (c) ((a) సంజ్ఞ-పరిమాణం (sign-magnitude), (b) 1 యొక్క పూరకం)

3. పూరకాల ద్వారా తీసివేత (4 బిట్‌లు).

ఉదాహరణ 7. 2 యొక్క పూరకంతో 9 − 5. సాధన. 5 = 0101 → 2 యొక్క పూరకం 1011. 1001 + 1011 = 1 0100. బయటికి క్యారీ వస్తే ఫలితం ధనాత్మకం: దానిని వదిలేయండి. సమాధానం: 0100 = +4

ఉదాహరణ 8. 2 యొక్క పూరకంతో 5 − 9. సాధన. 9 = 1001 → 2 యొక్క పూరకం 0111. 0101 + 0111 = 1100, క్యారీ లేదు, కాబట్టి సమాధానం రుణాత్మకం: 1100 యొక్క 2 యొక్క పూరకం తీసుకోండి = 0100. సమాధానం: −4

ఉదాహరణ 9. 1 యొక్క పూరకంతో 9 − 5. సాధన. 0101 యొక్క 1 యొక్క పూరకం = 1010. 1001 + 1010 = 1 0011. క్యారీని తిరిగి కలపండి (ఎండ్-అరౌండ్ క్యారీ (end-around carry)): 0011 + 1 = 0100. సమాధానం: +4

ఉదాహరణ 10. 10 యొక్క పూరకంతో 8754 − 4567. సాధన. 4567 యొక్క 10 యొక్క పూరకం = 5433. 8754 + 5433 = 14187; క్యారీ 1 ని వదిలేయండి. సమాధానం: 4187

4. తార్కిక (బిట్-వారీ) ప్రక్రియలు. ఏఎల్‌యూ ప్రతి బిట్‌ల జతకు ఒక గేట్‌ను వర్తింపజేస్తుంది.

A = 1100, B = 1010 అయితే:

ప్రక్రియ	ఫలితం
A AND B	1000
A OR B	1110
A XOR B	0110
NOT A	0011

ఉపయోగాలు: AND ఎంచుకున్న బిట్‌లను సున్నా చేస్తుంది (మాస్కింగ్ (masking)), OR బిట్‌లను 1 చేస్తుంది, XOR బిట్‌లను తిప్పుతుంది; A XOR A = 0. స్ప్రెడ్‌షీట్‌లు (spreadsheets) ఇదే తర్కాన్ని AND(), OR(), NOT() ఫంక్షన్లలో (functions) వాడతాయి; అవి TRUE లేదా FALSE ఇస్తాయి.

5. సార్వత్రిక గేట్‌లు. ప్రతి గేట్‌ను నాండ్ గేట్‌లతో మాత్రమే (లేదా నార్ గేట్‌లతో మాత్రమే) నిర్మించవచ్చు:

కావలసిన గేట్	NAND గేట్‌లు	NOR గేట్‌లు
NOT	1	1
AND	2	3
OR	3	2
XOR	4	5

లోతైన విశ్లేషణ

8 బిట్‌లలో −5 యొక్క సంజ్ఞా రూపాలు: సంజ్ఞ-పరిమాణం 10000101, 1 యొక్క పూరకం 11111010, 2 యొక్క పూరకం 11111011. సంజ్ఞ-పరిమాణం, 1 యొక్క పూరకంలో రెండు సున్నాలు (+0, −0) ఉంటాయి, పరిధి −127 నుంచి +127; 2 యొక్క పూరకంలో ఒకే సున్నా, పరిధి −128 నుంచి +127; అందుకే కంప్యూటర్లు దీనినే వాడతాయి.
ఓవర్‌ఫ్లో (overflow): ఒకే సంజ్ఞ గల రెండు సంఖ్యలను కలిపితే వ్యతిరేక సంజ్ఞ గల ఫలితం వచ్చినప్పుడు జరుగుతుంది. 8 బిట్‌లలో 100 + 50 = 150 > 127 అయితే 10010110 వస్తుంది, ఇది −106 గా చదవబడుతుంది. వ్యతిరేక సంజ్ఞల సంఖ్యలను కలిపితే ఎప్పుడూ ఓవర్‌ఫ్లో జరగదు.
బూలియన్ బీజగణిత (Boolean algebra) నియమాలు:
- తత్సమ (identity) A + 0 = A, A·1 = A; శూన్య (null) A + 1 = 1, A·0 = 0.
- ఇడెంపొటెంట్ (idempotent) A + A = A, A·A = A; పూరక (complement) A + A′ = 1, A·A′ = 0; ద్వి-నిషేధ (involution) (A′)′ = A.
- శోషణ (absorption) A + AB = A, A(A + B) = A; అలాగే A + A′B = A + B.
- విభాగ (distributive) A + BC = (A + B)(A + C) బూలియన్ బీజగణితంలో నిజం (సాధారణ బీజగణితంలో కాదు).
- ద్వంద్వత (duality): + ను · తో, 0 ను 1 తో మార్చితే మరో చెల్లుబాటయ్యే నియమం వస్తుంది.
యాడర్‌లు (adders): హాఫ్ యాడర్ (half adder) 2 బిట్‌లను కలుపుతుంది: మొత్తం = A ⊕ B, క్యారీ = A·B. ఫుల్ యాడర్ (full adder) 3 బిట్‌లను (క్యారీ ఇన్ C తో) కలుపుతుంది: మొత్తం = A ⊕ B ⊕ C, క్యారీ = AB + BC + CA. హాఫ్ సబ్‌ట్రాక్టర్ (half subtractor) తేడా A ⊕ B, బారో A′B ఇస్తుంది.
బహుళ ఇన్‌పుట్ XOR 1 ఇన్‌పుట్‌ల సంఖ్య బేసి అయినప్పుడు 1 ఇస్తుంది (పారిటీ బిట్ ఇలాగే తయారవుతుంది).
జరపడం (shifts): ఎడమకు ఒక స్థానం జరిపితే 2 తో గుణించినట్లు; కుడికి జరిపితే 2 తో భాగించినట్లు (సంజ్ఞ లేని పూర్ణ సంఖ్యలకు).
n చరరాశుల (variables) బూలియన్ ప్రమేయాల సంఖ్య = 2^(2ⁿ); 2 చరరాశులకు 16.

ఉదాహరణ 11. AB + AB′ ను సూక్ష్మీకరించండి. సాధన. A(B + B′) = A·1. సమాధానం: A

ఉదాహరణ 12. రెండు ఇన్‌పుట్‌లూ 0 అయినప్పుడు మాత్రమే అవుట్‌పుట్ 1 ఇచ్చే గేట్ ఏది? (a) NAND (b) NOR (c) XOR (d) XNOR సాధన. NOR 0, 0 కు మాత్రమే 1 ఇస్తుంది. XNOR 1, 1 కు కూడా 1 ఇస్తుంది. సమాధానం: (b) NOR

ఉదాహరణ 13. 3A₁₆ + 2F₁₆, 57₈ + 26₈ లను కలపండి. సాధన. హెక్స్: A + F = 10 + 15 = 25 = 16 + 9 → 9 రాసి, క్యారీ 1; 3 + 2 + 1 = 6 → 69₁₆ (58 + 47 = 105). ఆక్టల్: 7 + 6 = 13 = 8 + 5 → 5 రాసి, క్యారీ 1; 5 + 2 + 1 = 8 = 10₈ → 105₈ (47 + 22 = 69). సమాధానం: 69₁₆, 105₈

తరచూ చేసే పొరపాట్లు

✗ "బైనరీలో 1 + 1 = 2." ✓ 1 + 1 = 10 (0 రాసి, క్యారీ 1).
✗ "2 యొక్క పూరకం = బిట్‌లను తిప్పడం." ✓ అది 1 యొక్క పూరకం; 2 యొక్క పూరకంలో 1 కలుపుతారు.
✗ "2 యొక్క పూరకంతో తీసివేతలో చివరి క్యారీని తిరిగి కలపాలి." ✓ దానిని వదిలేయాలి; ఎండ్-అరౌండ్ క్యారీ 1 యొక్క పూరకానికి.
✗ "క్యారీ లేకపోతే సమాధానం ధనాత్మకం." ✓ క్యారీ లేకపోతే ఫలితం రుణాత్మకం, పూరక రూపంలో ఉంటుంది.
✗ "8-బిట్ సంజ్ఞా పరిధి −127 నుంచి +128." ✓ −128 నుంచి +127.
✗ "AND, OR, NOT సార్వత్రిక గేట్‌లు." ✓ సార్వత్రిక గేట్‌లు NAND, NOR.
✗ "రెండు ఇన్‌పుట్‌లూ 1 అయినప్పుడు XOR 1 ఇస్తుంది." ✓ ఇన్‌పుట్‌లు వేరుగా ఉన్నప్పుడు XOR 1; 1, 1 కు అది 0.
✗ "(A + B)′ = A′ + B′." ✓ డీ మోర్గన్: (A + B)′ = A′·B′.

త్వరిత పునశ్చరణ

1 + 1 = 10; 1 + 1 + 1 = 11; 0 − 1 = 1 బారో 1.
1 యొక్క పూరకం: తిప్పడం; 2 యొక్క పూరకం: తిప్పి + 1.
2 యొక్క పూరకంతో తీసివేత: క్యారీ వస్తే → వదిలేయండి, ధనాత్మకం; క్యారీ లేకపోతే → రుణాత్మకం, మళ్ళీ పూరకం తీసుకోండి.
1 యొక్క పూరకం: ఎండ్-అరౌండ్ క్యారీ.
8-బిట్ సంజ్ఞా సంఖ్యలు: −128 నుంచి +127; −25 = 11100111.
ఓవర్‌ఫ్లో: ఒకే సంజ్ఞ ఇన్‌పుట్‌లు, వ్యతిరేక సంజ్ఞ ఫలితం.
సార్వత్రిక గేట్‌లు NAND, NOR; XOR = 4 NAND లు.
డీ మోర్గన్: (A + B)′ = A′B′; (AB)′ = A′ + B′.
హాఫ్ యాడర్: మొత్తం A ⊕ B, క్యారీ AB.
సత్య పట్టిక: 2ⁿ అడ్డు వరుసలు.

Medha AI writes its own notes and checks them against the sources listed. Medha AI is an independent preparation service. It is not affiliated with, endorsed by or connected to APPSC, TGPSC (formerly TSPSC), MPSC, UPSC or any other commission or government body.