స్పియర్‌మ్యాన్ ర్యాంక్ సహసంబంధం (సమాన…

ముఖ్య వాస్తవాలు

స్పియర్‌మ్యాన్ ర్యాంక్ సహసంబంధ గుణకం (Spearman's rank correlation coefficient): R = 1 − 6Σd² ÷ n(n² − 1), ఇక్కడ d = ఒక అంశానికి వచ్చిన రెండు ర్యాంకుల భేదం, n = జతల సంఖ్య.
ర్యాంకులు ఇవ్వగలిగినా కొలవలేని గుణాత్మక (qualitative) లక్షణాలకు వాడతారు: అందం, నిజాయితీ, ప్రతిభ, రుచి.
−1 ≤ R ≤ +1. R = +1: ఒకే రకమైన ర్యాంకింగ్‌లు; R = −1: పూర్తిగా తారుమారైన ర్యాంకింగ్‌లు.
Σd ఎల్లప్పుడూ 0 (లెక్క సరిచూసుకోవడానికి).
సమాన (పునరావృత) ర్యాంకులు (tied, repeated ranks): సమాన అంశాలకు అవి ఆక్రమించే ర్యాంకుల సగటు (average) ఇవ్వాలి (4వ, 5వ స్థానాలకు సమానంగా ఉన్న రెండు అంశాలకు ఒక్కొక్కదానికి 4.5).
సమాన ర్యాంకుల సవరణ: ఏ శ్రేణిలోనైనా సమానంగా ఉన్న m అంశాల ప్రతి సమూహానికి Σd² కు m(m² − 1)/12 కలపాలి.
r యొక్క ప్రామాణిక దోషం (standard error): SE = (1 − r²) ÷ √n.
r యొక్క సంభావ్య లోపం: PE = 0.6745 × (1 − r²) ÷ √n = 0.6745 × SE.
నియమాలు: r < PE → సార్థకం కాదు (not significant); r > 6 PE → సార్థకం (significant); మధ్యలో ఉంటే → ఖచ్చితంగా ఏమీ చెప్పలేం.
సమష్టి (population) సహసంబంధం పరిమితులు: r ± PE.

ఉదాహరణ 1. ఇద్దరు న్యాయనిర్ణేతలు 5 ఎంట్రీలకు ర్యాంకులు ఇచ్చారు.

ఎంట్రీ	న్యాయనిర్ణేత 1	న్యాయనిర్ణేత 2
A	1	2
B	2	1
C	3	4
D	4	3
E	5	5

సాధన. d = −1, 1, −1, 1, 0 → Σd² = 4. R = 1 − (6 × 4) ÷ (5 × 24) = 1 − 24/120. సమాధానం: R = 0.8

ఉదాహరణ 2. 64 జతల నమూనా (sample) నుంచి r = 0.6. PE కనుగొనండి. సాధన. (1 − 0.36) ÷ √64 = 0.64/8 = 0.08 (ఇది SE). PE = 0.6745 × 0.08. సమాధానం: PE ≈ 0.054

వివరణ

1. వాస్తవ విలువలు ఇస్తే: ముందు ర్యాంకులు ఇవ్వాలి. ప్రతి శ్రేణికి విడిగా ర్యాంకులు ఇవ్వండి (అతిపెద్దది = 1, లేదా అతిచిన్నది = 1, కానీ రెండింటికీ ఒకే నియమం).

ఉదాహరణ 3. 6 మంది విద్యార్థులకు అర్థశాస్త్రం (x), సాంఖ్యక శాస్త్రం (y) లో వచ్చిన మార్కులు:

విద్యార్థి	x	y
P	78	84
Q	36	51
R	98	91
S	25	60
T	75	68
U	82	62

లెక్క (అతిపెద్దది = ర్యాంక్ 1):

విద్యార్థి	ర్యాంకులు (x, y)	d	d²
P	3, 2	1	1
Q	5, 6	−1	1
R	1, 1	0	0
S	6, 5	1	1
T	4, 3	1	1
U	2, 4	−2	4

సాధన. Σd = 0 (సరిచూడండి). Σd² = 8. R = 1 − (6 × 8) ÷ (6 × 35) = 1 − 48/210 = 1 − 0.229. సమాధానం: R ≈ 0.771

2. సవరణతో సమాన ర్యాంకులు.

ఉదాహరణ 4. R కనుగొనండి.

x	y
48	13
33	13
40	24
9	6
16	15
16	4
65	20
24	9
16	6
57	19

సాధన.

x ర్యాంకులు (అతిపెద్దది = 1): 65→1, 57→2, 48→3, 40→4, 33→5, 24→6, మూడు 16లు 7, 8, 9 స్థానాలను పంచుకుంటాయి → ఒక్కొక్కటి 8, 9→10.
y ర్యాంకులు: 24→1, 20→2, 19→3, 15→4, రెండు 13లు 5, 6 పంచుకుంటాయి → ఒక్కొక్కటి 5.5, 9→7, రెండు 6లు 8, 9 పంచుకుంటాయి → ఒక్కొక్కటి 8.5, 4→10.
ఇచ్చిన క్రమంలో: x ర్యాంకు = 3, 5, 4, 10, 8, 8, 1, 6, 8, 2; y ర్యాంకు = 5.5, 5.5, 1, 8.5, 4, 10, 2, 7, 8.5, 3.
d = −2.5, −0.5, 3, 1.5, 4, −2, −1, −1, −0.5, −1 (Σd = 0).
Σd² = 6.25 + 0.25 + 9 + 2.25 + 16 + 4 + 1 + 1 + 0.25 + 1 = 41.
సవరణలు: x లో m = 3 గల ఒక సమాన సమూహం → 3(9 − 1)/12 = 2. y లో m = 2 గల రెండు సమాన సమూహాలు → ఒక్కొక్కటి 2(4 − 1)/12 = 0.5 → 1. మొత్తం 3.
R = 1 − 6(41 + 3) ÷ (10 × 99) = 1 − 264/990.

సమాధానం: R ≈ 0.733

3. సంభావ్య లోపం: ఫలితాన్ని చదవడం.

r ను PE తో పోల్చినప్పుడు	నిర్ణయం
r < PE	సార్థకం కాదు (సహసంబంధానికి ఆధారం లేదు)
PE < r < 6 PE	ఖచ్చితంగా ఏమీ చెప్పలేం
r > 6 PE	సార్థకం (సహసంబంధం వాస్తవం)

ఉదాహరణ 5. r = 0.6, n = 64 (ఉదాహరణ 2 నుంచి, PE ≈ 0.054). r సార్థకమా? పరిమితులు ఇవ్వండి. సాధన. 6 PE ≈ 0.324 < 0.6, కాబట్టి సార్థకం. పరిమితులు 0.6 ± 0.054. సమాధానం: సార్థకం; ρ సుమారు 0.546, 0.654 మధ్య ఉంటుంది

ఉదాహరణ 6. 16 జతల నుంచి r = 0.5. వ్యాఖ్యానించండి. సాధన. PE = 0.6745 × 0.75 ÷ 4 ≈ 0.126; 6 PE ≈ 0.759. r, PE కంటే ఎక్కువ కానీ 6 PE కంటే తక్కువ. సమాధానం: ఖచ్చితంగా ఏమీ చెప్పలేం

లోతైన విశ్లేషణ

1. తప్పుగా తీసుకున్న ర్యాంకుల భేదాన్ని సరిదిద్దడం.

ఉదాహరణ 7. 10 జతలకు R = 0.5 అని కనుగొన్నారు. తర్వాత ఒక d సరైన విలువ 7 కు బదులు 3 గా తీసుకున్నట్లు తెలిసింది. సరైన R కనుగొనండి. సాధన.

R = 1 − 6Σd²/990 నుంచి: 0.5 = 1 − 6Σd²/990 → Σd² = 0.5 × 990/6 = 82.5.
సరైన Σd² = 82.5 − 3² + 7² = 82.5 − 9 + 49 = 122.5.
R = 1 − 6 × 122.5/990 = 1 − 735/990.

సమాధానం: R ≈ 0.258

2. Σd² తీవ్ర విలువలు. ర్యాంకింగ్‌లు ఒకేలా ఉన్నప్పుడు Σd² = 0 (R = 1). పూర్తిగా తారుమారైన ర్యాంకింగ్‌లకు Σd² = n(n² − 1)/3, R = −1. n = 5 తో సరిచూడండి: ర్యాంకులు 1–5 ను 5–1 తో పోలిస్తే d = 4, 2, 0, −2, −4, Σd² = 40 = 5 × 24/3.

ఉదాహరణ 8. n = 10, Σd² = 30. R కనుగొనండి. సాధన. 1 − 180/990 = 1 − 0.182. సమాధానం: R ≈ 0.818

3. R కు పియర్సన్ r తో సంబంధం. R అనేది ర్యాంకులపై లెక్కించిన పియర్సన్ r. సమాన ర్యాంకులు లేకపోతే రెండూ సరిగ్గా ఒకే విలువ ఇస్తాయి. సమాన ర్యాంకులు ఉంటే, సవరణ కారకం (correction factor) తో కూడిన పాఠ్యపుస్తక సూత్రమే పరీక్షల్లో ప్రామాణిక సమాధానం; ఇది సగటు ర్యాంకులపై లెక్కించిన పియర్సన్ r కంటే కొద్దిగా భిన్నంగా ఉండవచ్చు (ఉదాహరణ 4 లో, సుమారు 0.747 కు బదులు 0.733).

4. ప్రయోజనాలు, పరిమితులు.

స్పియర్‌మ్యాన్ R	పియర్సన్ r
ర్యాంకులపై పనిచేస్తుంది; గుణాత్మక డేటా	కొలిచిన విలువలు కావాలి
సులభం, చిన్న n కు వేగం	ఎక్కువ శ్రమ, పూర్తి విలువలు వాడుతుంది
తీవ్ర విలువల ప్రభావం తక్కువ	తీవ్ర విలువల వైపు లాగబడుతుంది
భేదాల పరిమాణాన్ని కోల్పోతుంది	మొత్తం సమాచారాన్ని వాడుతుంది

సమూహ (ద్విచర పౌనఃపున్య) పట్టికకు (grouped, bivariate frequency table) స్పియర్‌మ్యాన్ పద్ధతి వాడరు; ర్యాంకులు ముందే ఇవ్వకపోతే పెద్ద n కు (సుమారు 30 కంటే ఎక్కువ) ఇది శ్రమతో కూడినది అవుతుంది.

5. సంభావ్య లోపం గురించి.

0.6745 అనేది సాధారణ పంపిణీ (normal distribution) లో మధ్య 50% భాగం ±z ప్రామాణిక విచలనాల లోపల ఉండే z విలువ; కాబట్టి r ± PE అనేది సమష్టి సహసంబంధం 50% అవకాశంతో ఉంటుందని భావించే అవధి.
నమూనా యాదృచ్ఛికం, తగినంత పెద్దది, సుమారుగా సాధారణ సమష్టి నుంచి తీసుకున్నది అయినప్పుడు మాత్రమే PE కు అర్థం ఉంటుంది.
n పెరిగే కొద్దీ PE తగ్గుతుంది: 100 జతల నుంచి r = 0.8 అయితే PE = 0.6745 × 0.36/10 ≈ 0.024.

తరచూ చేసే పొరపాట్లు

✗ "R = 1 − 6Σd ÷ n(n² − 1)." ✓ భేదాల వర్గాల మొత్తం Σd² వాడాలి; Σd ఎల్లప్పుడూ 0.
✗ "హారం n(n − 1)." ✓ అది n(n² − 1), ఉదా. n = 10 కు 10 × 99 = 990.
✗ "సమాన అంశాలకు ఆ సమూహంలోని మొదటి ర్యాంకు ఇవ్వాలి." ✓ వాటికి సగటు ర్యాంకు ఇవ్వాలి (7వ, 8వ, 9వ స్థానాలకు సమానం → ఒక్కొక్కటి 8).
✗ "ప్రతి శ్రేణికి ఒకే సవరణ కలపాలి." ✓ రెండు శ్రేణుల్లోనూ సమాన ర్యాంకుల ప్రతి సమూహానికి m(m² − 1)/12 కలపాలి.
✗ "PE = 0.6745 (1 − r) ÷ √n." ✓ అది (1 − r²): PE = 0.6745 (1 − r²)/√n.
✗ "r > PE అయితే r సార్థకం." ✓ r > 6 PE అయితేనే సార్థకం; r < PE అంటే సార్థకం కాదు.
✗ "ర్యాంకులు అతిచిన్న దాని నుంచే ఇవ్వాలి." ✓ రెండు శ్రేణులకూ ఒకే నియమం వాడితే ఏ దిశ అయినా సరే.

త్వరిత పునశ్చరణ

R = 1 − 6Σd²/[n(n² − 1)].
Σd = 0 ఎల్లప్పుడూ; సరిచూడండి.
సమాన ర్యాంకులు: సగటు ర్యాంకు; ప్రతి సమూహానికి m(m² − 1)/12 కలపాలి.
R = 1 ఒకేలా, R = −1 తారుమారు; తారుమారైతే Σd² = n(n² − 1)/3.
సమాన ర్యాంకులు లేకపోతే: స్పియర్‌మ్యాన్ R = ర్యాంకులపై పియర్సన్ r.
SE = (1 − r²)/√n.
PE = 0.6745 (1 − r²)/√n.
r < PE సార్థకం కాదు; r > 6 PE సార్థకం.
సమష్టి r పరిమితులు: r ± PE.
గుణాత్మక లక్షణాలకు (అందం, ప్రతిభ) ర్యాంక్ సహసంబంధం వాడాలి.

Medha AI writes its own notes and checks them against the sources listed. Medha AI is an independent preparation service. It is not affiliated with, endorsed by or connected to APPSC, TGPSC (formerly TSPSC), MPSC, UPSC or any other commission or government body.