సంఖ్యల రకాలు, భాజనీయతా నియమాలు

ముఖ్య వాస్తవాలు

సహజ సంఖ్యలు (natural numbers): 1, 2, 3, … పూర్ణ సంఖ్యలు (whole numbers): 0, 1, 2, … పూర్ణాంకాలు (integers): …, −2, −1, 0, 1, 2, …
అకరణీయ సంఖ్య (rational): q ≠ 0 అయ్యేలా p/q రూపంలో రాయవచ్చు; దాని దశాంశ రూపం అంతమవుతుంది లేదా ఆవర్తనమవుతుంది. కరణీయ సంఖ్య (irrational): అంతం కాని, ఆవర్తనం కాని దశాంశం (√2, √3, π).
ప్రధాన సంఖ్య (prime): సరిగ్గా రెండు కారణాంకాలు (1, ఆ సంఖ్యే). 1 ప్రధాన సంఖ్యా కాదు, సంయుక్త సంఖ్యా కాదు.
2 ఒక్కటే సరి ప్రధాన సంఖ్య; 3 మొదటి బేసి ప్రధాన సంఖ్య; 4 అతి చిన్న సంయుక్త సంఖ్య; 9 అతి చిన్న బేసి సంయుక్త సంఖ్య.
100 లోపు 25 ప్రధాన సంఖ్యలు, 50 లోపు 15 ప్రధాన సంఖ్యలు ఉన్నాయి.
పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు (co-prime): గరిష్ఠ సామాన్య భాజకం (గ.సా.భా., HCF) 1 అయ్యే రెండు సంఖ్యలు (8, 15). అవి ప్రధాన సంఖ్యలే కానక్కర్లేదు. కవల ప్రధాన సంఖ్యల (twin primes) మధ్య తేడా 2 (11, 13).
ప్రధాన సంఖ్య పరీక్ష: √n వరకు ఉన్న ప్రధాన సంఖ్యలతో మాత్రమే భాజనీయత చూడండి.
సరి-బేసి స్వభావం (parity): బేసి ± బేసి = సరి; సరి ± బేసి = బేసి; బేసి × బేసి = బేసి; ఒక్క సరి కారణాంకం ఉన్నా లబ్ధం సరి.
ఒక అంకె సహజ విలువ (face value) ఆ అంకెయే. స్థాన విలువ = అంకె × దాని స్థానం.
భాజనీయతా పరీక్షలు:

దేనితో	నియమం
2, 5, 10	చివరి అంకె సరి / 0 లేదా 5 / 0
3, 9	అంకెల మొత్తం 3 / 9 తో నిశ్శేషంగా భాగించబడాలి
4, 25	చివరి రెండు అంకెలు 4 / 25 తో నిశ్శేషంగా భాగించబడాలి
8, 16	చివరి మూడు / చివరి నాలుగు అంకెలు 8 / 16 తో నిశ్శేషంగా భాగించబడాలి
11	(ఒకటి విడిచి ఒకటి అంకెల మొత్తం) − (మిగిలిన అంకెల మొత్తం) 0 లేదా 11 గుణిజం
6, 12, 15, 18, 24	2 మరియు 3 / 3 మరియు 4 / 3 మరియు 5 / 2 మరియు 9 / 3 మరియు 8

రెండు భాజకాలు పరస్పర ప్రధానాలు అయినప్పుడే రెండు పరీక్షలను కలపండి (24 = 3 × 8, 4 × 6 కాదు).

ఉదాహరణ 1. 247 ప్రధాన సంఖ్యా? సాధన. √247 సుమారు 15.7, కాబట్టి 2, 3, 5, 7, 11, 13 ప్రధాన సంఖ్యలతో పరీక్షించండి. 247 = 13 × 19. సమాధానం: కాదు, ఇది సంయుక్త సంఖ్య.

ఉదాహరణ 2. 46,218 సంఖ్యలో 6 స్థాన విలువ నుంచి దాని సహజ విలువను తీసివేస్తే ఎంత? సాధన. 6 వేల స్థానంలో ఉంది: స్థాన విలువ 6,000, సహజ విలువ 6. సమాధానం: 5,994

ఉదాహరణ 3. 73,416 సంఖ్య 8 తో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుందా? సాధన. చివరి మూడు అంకెలు 416 = 8 × 52. సమాధానం: అవును.

వివరణ

రకం 1: ఒక లోపించిన అంకె, ఒక భాజకం. పరీక్షను ఆ అంకెలో సమీకరణంగా రాయండి.

ఉదాహరణ 4. 58x3 సంఖ్య 11 తో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది. x కనుక్కోండి. (a) 2 (b) 4 (c) 6 (d) 8 సాధన. ఒకటి విడిచి ఒకటి మొత్తాలు: (5 + x) − (8 + 3) = x − 6. ఇది 0 లేదా 11 గుణిజం (11, 22, …) కావాలి, కాబట్టి x = 6. సరిచూడండి: 5,863 = 11 × 533. సమాధానం: (c) 6

రకం 2: ఒక అంకె, రెండు భాజకాలు. కఠినమైన పరీక్షను ముందు వాడండి, తర్వాత రెండో దానితో నిర్ధారించండి.

ఉదాహరణ 5. 74381 లో స్థానంలో ఏ అంకె ఉంచితే ఆ సంఖ్య 3 మరియు 11 రెండింటితో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది? (a) 1 (b) 4 (c) 7 (d) 9 సాధన. 11 కోసం: (7 + 4 + 8) − (* + 3 + 1) = 15 − , కాబట్టి = 4. 3 కోసం: అంకెల మొత్తం 23 + 4 = 27, ఇది 3 తో భాగించబడుతుంది. సమాధానం: (b) 4

రకం 3: రెండు అంకెలు, రెండు భాజకాలు. 72 = 8 × 9. 8-పరీక్షతో చివరి అంకెను, 9-పరీక్షతో మరో అంకెను నిర్ణయించండి.

ఉదాహరణ 6. 6x31y సంఖ్య 72 తో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది. x + y కనుక్కోండి. (a) 6 (b) 8 (c) 10 (d) 12 సాధన. 8 కోసం: 31y, 8 గుణిజం కావాలి; 312 ఒక్కటే సరిపోతుంది, కాబట్టి y = 2. 9 కోసం: 6 + x + 3 + 1 + 2 = 12 + x, కాబట్టి x = 6. సమాధానం: (b) 8

రకం 4: ఒక వ్యాప్తిలో గుణిజాలు. a నుంచి b వరకు (రెండూ కలిపి) n గుణిజాలు = ⌊b/n⌋ − ⌊(a − 1)/n⌋.

ఉదాహరణ 7. 200, 500 ల మధ్య (రెండూ కాకుండా) 9 గుణిజాలు ఎన్ని? సాధన. ⌊499/9⌋ − ⌊200/9⌋ = 55 − 22. సమాధానం: 33

ఉదాహరణ 8. 1 నుంచి 300 వరకు ఉన్న సంఖ్యల్లో 4 తో భాగించబడి, 6 తో భాగించబడనివి ఎన్ని? సాధన. 4 గుణిజాలు: 75. 4, 6 రెండింటితో భాగించబడటం అంటే క.సా.గు. (LCM) 12 తో భాగించబడటం: 25. 75 − 25 = 50. సమాధానం: 50

రకం 5: గుణిజాల మొత్తం. పదాలు = (చివరిది − మొదటిది)/n + 1; మొత్తం = పదాలు × (మొదటిది + చివరిది)/2.

ఉదాహరణ 9. 11 కి ఉన్న మూడంకెల గుణిజాలన్నింటి మొత్తం కనుక్కోండి. సాధన. మొదటిది 110, చివరిది 990; పదాలు = 880/11 + 1 = 81. మొత్తం = 81 × 1,100/2 = 81 × 550. సమాధానం: 44,550

రకం 6: దగ్గరి, అతి చిన్న, అతి పెద్ద గుణిజాలు. భాగించి, కింది లేదా పై గుణిజానికి వెళ్ళండి.

ఉదాహరణ 10. (i) 4,000 కు అత్యంత దగ్గరగా ఉండి 23 తో భాగించబడే సంఖ్య ఏది? (ii) 2,500 ను 47 తో నిశ్శేషంగా భాగించబడేలా చేయడానికి కలపవలసిన కనిష్ఠ సంఖ్య ఎంత? సాధన. (i) 4,000 = 23 × 173 + 21. కింది గుణిజం 3,979 (21 దూరం); పై గుణిజం 4,002 (2 దూరం). (ii) 2,500 = 47 × 53 + 9, కాబట్టి 47 − 9 = 38 కలపాలి. సమాధానం: (i) 4,002 (ii) 38

37 కి అతి చిన్న ఐదంకెల గుణిజం: 10,000 = 37 × 270 + 10, కాబట్టి 37 × 271 = 10,027. 29 కి అతి పెద్ద నాలుగంకెల గుణిజం: 9,999 = 29 × 344 + 23, కాబట్టి 9,999 − 23 = 9,976.

వేగ చిట్కాలు.

లోపించిన అంకె కోసం ముందు కఠినమైన పరీక్ష (8, 11), తర్వాత అంకెల మొత్తం పరీక్ష వాడండి.
"మధ్య ఎన్ని" ప్రశ్నలకు పూర్ణ భాగం సూత్రాన్ని ఒక్కసారి రాయండి; సంఖ్యలను ఎప్పుడూ జాబితా చేయకండి.
"మధ్య (రెండూ కాకుండా)" అంటే రెండు చివరలూ మినహాయింపు; "… నుంచి … వరకు" అంటే రెండూ కలిపి.

లోతైన విశ్లేషణ

చేర్పు–తీసివేత సూత్రం (inclusion–exclusion). |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A∩B| − |B∩C| − |C∩A| + |A∩B∩C|. ఖండనలకు భాజకాల క.సా.గు. వాడండి.

ఉదాహరణ 11. 1 నుంచి 200 వరకు ఉన్న పూర్ణాంకాల్లో 2, 3, 5 లలో దేనితోనూ భాగించబడనివి ఎన్ని? (a) 46 (b) 54 (c) 60 (d) 66 సాధన. ఒక్కొక్క దాని లెక్క: 100 + 66 + 40 = 206. జతలు (6, 10, 15): 33 + 20 + 13 = 66. మూడూ (30): 6. కనీసం ఒక దానితో = 206 − 66 + 6 = 146. దేనితోనూ కానివి = 200 − 146. సమాధానం: (b) 54

ఉదాహరణ 12. కేస్‌లెట్ (caselet). ఒక పాఠశాల ఆటలో 1 నుంచి 100 వరకు ఉన్న ఒక సంఖ్య 4 గుణిజమైనా, దాని అంకెల మొత్తం 8 అయినా (లేదా రెండూ) అది "అదృష్ట సంఖ్య". (i) అదృష్ట సంఖ్యలు ఎన్ని? (ii) రెండు నియమాలకూ సరిపోయేవి ఎన్ని? సాధన. 4 గుణిజాలు: 25. అంకెల మొత్తం 8: 8, 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80 (9 సంఖ్యలు). వీటిలో 8, 44, 80 లు 4 గుణిజాలు. అదృష్ట సంఖ్యలు = 25 + 9 − 3. సమాధానం: (i) 31 (ii) 3

చిన్న సమితిని పూర్తిగా జాబితా చేయండి; అప్పుడు ఉమ్మడి భాగం సులభంగా కనిపిస్తుంది.

ఉదాహరణ 13. 286,286 ను నిశ్శేషంగా భాగించేది 7, 11, 13 లలో ఏది? లేక మూడూ భాగిస్తాయా? సాధన. abcabc రూపంలోని ఆరంకెల సంఖ్య = abc × 1,001, అలాగే 1,001 = 7 × 11 × 13. 286,286 = 286 × 1,001. సమాధానం: మూడూ

ఉదాహరణ 14. కేవలం 1 అంకెతో మాత్రమే ఏర్పడి 7 తో నిశ్శేషంగా భాగించబడే అతి చిన్న సంఖ్య ఏది? సాధన. 1, 11, 111, … లను పరీక్షించండి: 111,111 = 7 × 15,873 మొదటిది. (111,111 = 1,001 × 111.) సమాధానం: 111,111 (ఆరు ఒకట్లు)

ఉదాహరణ 15. x² + 15 ను x నిశ్శేషంగా భాగించేలా x కు ఎన్ని ధన పూర్ణాంక విలువలు ఉన్నాయి? సాధన. x, x² ను భాగిస్తుంది, కాబట్టి x తప్పనిసరిగా 15 ను భాగించాలి: x = 1, 3, 5, 15. సమాధానం: 4

పెద్ద సంఖ్యలకు 7 లేదా 13 తో భాజనీయత: కుడి నుంచి మూడేసి అంకెల గుంపులుగా విడదీసి, ఒకటి కూడి ఒకటి తీసివేసే మొత్తం తీసుకోండి (ఇక్కడా 1,001 పనిచేస్తుంది).
n వరుస పూర్ణాంకాల లబ్ధాన్ని n! నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది; కాబట్టి ఏ మూడు వరుస పూర్ణాంకాల లబ్ధమైనా 6 తో భాగించబడుతుంది.
"ఏది ప్రధాన సంఖ్య కాదు" ప్రశ్నల్లో వాడే ప్రధాన సంఖ్యల్లా కనిపించే సంయుక్త సంఖ్యలు: 91 (7 × 13), 119 (7 × 17), 133 (7 × 19), 143 (11 × 13), 161 (7 × 23), 187 (11 × 17), 209 (11 × 19), 221 (13 × 17), 247 (13 × 19), 323 (17 × 19).

తరచూ చేసే పొరపాట్లు

✗ "1 ప్రధాన సంఖ్య." ✓ 1 ప్రధాన సంఖ్యా కాదు, సంయుక్త సంఖ్యా కాదు; 2 అతి చిన్న ప్రధాన సంఖ్య.
✗ "పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు రెండూ ప్రధాన సంఖ్యలే అయి ఉండాలి." ✓ పరస్పర ప్రధానం అంటే గ.సా.భా. = 1 (8, 9 పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు).
✗ "4, 6 లతో భాగించబడుతుంది, కాబట్టి 24 తో భాగించబడుతుంది." ✓ క.సా.గు. 12 తో మాత్రమే. పరస్పర ప్రధాన భాజకాలకే పరీక్షలను కలపండి.
✗ "6, 9 లతో భాగించబడేవి: 54 గుణిజాలను లెక్కించండి." ✓ క.సా.గు. 18 గుణిజాలను లెక్కించండి.
✗ "200, 500 మధ్య 9 గుణిజాలు = 500/9 − 200/9 ≈ 33.3." ✓ పూర్ణ భాగాలు వాడండి: ⌊499/9⌋ − ⌊200/9⌋ = 33.
✗ "46,218 లో 6 స్థాన విలువ 6." ✓ అది సహజ విలువ; స్థాన విలువ 6,000.

త్వరిత పునశ్చరణ

1 ప్రధాన సంఖ్యా కాదు, సంయుక్త సంఖ్యా కాదు; 2 ఒక్కటే సరి ప్రధాన సంఖ్య.
100 లోపు 25 ప్రధాన సంఖ్యలు; 50 లోపు 15.
అకరణీయ సంఖ్య = అంతమయ్యే లేదా ఆవర్తన దశాంశం.
4: చివరి రెండు అంకెలు; 8: చివరి మూడు; 16: చివరి నాలుగు.
3, 9: అంకెల మొత్తం. 11: ఒకటి విడిచి ఒకటి అంకెల తేడా 0 లేదా 11k.
పరస్పర ప్రధాన భాజకాలకే పరీక్షలను కలపండి.
[a, b] లో n గుణిజాలు = ⌊b/n⌋ − ⌊(a − 1)/n⌋.
"రెండింటితో భాగించబడుతుంది" అంటే క.సా.గు. తో భాగించబడుతుంది.
abcabc = abc × 1,001 = abc × 7 × 11 × 13.
ప్రధాన సంఖ్యలను √n వరకు మాత్రమే పరీక్షించండి.

Medha AI writes its own notes and checks them against the sources listed. Medha AI is an independent preparation service. It is not affiliated with, endorsed by or connected to APPSC, TGPSC (formerly TSPSC), MPSC, UPSC or any other commission or government body.