శేషాలు, ఒకట్ల స్థానంలోని అంకెలు, కారణాంకాలు

ముఖ్య వాస్తవాలు

ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె చక్రాలు:

చివరి అంకె	చక్రం	పొడవు
0, 1, 5, 6	ఎప్పుడూ అదే అంకె	1
4	4, 6 (బేసి ఘాతం 4, సరి ఘాతం 6)	2
9	9, 1 (బేసి ఘాతం 9, సరి ఘాతం 1)	2
2	2, 4, 8, 6	4
3	3, 9, 7, 1	4
7	7, 9, 3, 1	4
8	8, 4, 2, 6	4

నియమం: ఘాతాన్ని 4 తో భాగించి, శేషాన్ని వాడండి; శేషం 0 అయితే 4వ పదం.
విభాజ్యం = భాజకం × భాగఫలం + శేషం; శేషం ఎప్పుడూ భాజకం కంటే తక్కువ.
N = p^a × q^b × r^c (p, q, r ప్రధాన సంఖ్యలు) అయితే: కారణాంకాల సంఖ్య = (a + 1)(b + 1)(c + 1).
ఒక లబ్ధంలో చివరి సున్నాలు = 2ల సంఖ్య, 5ల సంఖ్యల్లో చిన్నది.
n బేసి అయితే aⁿ + bⁿ, (a + b) తో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది; aⁿ − bⁿ, (a − b) తో ఎప్పుడూ భాగించబడుతుంది, n సరి అయితే (a + b) తో కూడా.

ఉదాహరణ 1. 8^47 ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె కనుక్కోండి. సాధన. 47 ÷ 4 శేషం 3; 8, 4, 2, 6 లో 3వ పదం 2. సమాధానం: 2

ఉదాహరణ 2. 4^63 ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె కనుక్కోండి. సాధన. ఘాతం బేసి, కాబట్టి ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 4. సమాధానం: 4

ఉదాహరణ 3. 200 కు ఎన్ని కారణాంకాలు ఉన్నాయి? సాధన. 200 = 2³ × 5². కారణాంకాలు = 4 × 3. సమాధానం: 12

వివరణ

రకం 1: లబ్ధం లేదా మొత్తం యొక్క ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె. ప్రతి ఆధారాన్ని దాని చివరి అంకెకు కుదించండి, ప్రతి ఘాతాన్ని 4 తో భాగించగా వచ్చే శేషానికి కుదించండి. తర్వాత ఒకట్ల అంకెలను గుణించండి లేదా కూడండి.

ఉదాహరణ 4. 2^37 × 7^54 × 9^21 ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె. (a) 2 (b) 4 (c) 6 (d) 8 సాధన. 2^37: 37 ÷ 4 శేషం 1 → 2. 7^54: 54 ÷ 4 శేషం 2 → 9. 9^21: బేసి ఘాతం → 9. 2 × 9 × 9 = 162. సమాధానం: (a) 2

ఉదాహరణ 5. 3^50 + 7^50 ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె. సాధన. 50 ÷ 4 శేషం 2: 3^50 చివర 9, 7^50 చివర 9. 9 + 9 = 18. సమాధానం: 8

ఉదాహరణ 6. (1,237)^89 × (564)^22 ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె. సాధన. చివరి అంకెలే ముఖ్యం: 7^89 (89 ÷ 4 శేషం 1) → 7; 4^22 (సరి) → 6. 7 × 6 = 42. సమాధానం: 2

రకం 2: ఒక ఘాతం యొక్క శేషం. శేషం 1 (లేదా −1) ఇచ్చే చిన్న ఘాతాన్ని కనుక్కోండి. తర్వాత మిగిలిన ఘాతం మాత్రమే ముఖ్యం.

ఉదాహరణ 7. 3^41 ను 8 తో భాగిస్తే శేషం. సాధన. 3² = 9 శేషం 1. 3^41 = (3²)^20 × 3, కాబట్టి శేషం 3. సమాధానం: 3

ఉదాహరణ 8. 5^63 ను 6 తో భాగిస్తే శేషం. సాధన. 5 ను 6 తో భాగిస్తే శేషం −1; (−1)^63 = −1, అంటే 6 − 1. సమాధానం: 5

రకం 3: భాజకం యొక్క కారణాంకానికి శేషాన్ని బదిలీ చేయడం.

ఉదాహరణ 9. ఒక సంఖ్యను 255 తో భాగిస్తే శేషం 64. దానిని 15 తో భాగిస్తే శేషం ఎంత? సాధన. 255 కు 15 కారణాంకం; కాబట్టి సమాధానం 64 ను 15 తో భాగిస్తే వచ్చే శేషం. సమాధానం: 4

కొత్త భాజకం పాత భాజకానికి కారణాంకం అయినప్పుడే ఇది పనిచేస్తుంది.

రకం 4: బేసి, సరి, మొత్తం కారణాంకాలు. బేసి కారణాంకాలకు 2 ఘాతాన్ని వదిలేయండి; సరి కారణాంకాలు = మొత్తం − బేసి.

ఉదాహరణ 10. 1,800 కారణాంకాలలో సరి కారణాంకాలు ఎన్ని? (a) 9 (b) 18 (c) 27 (d) 36 సాధన. 1,800 = 2³ × 3² × 5². మొత్తం = 4 × 3 × 3 = 36. బేసి = 3 × 3 = 9. సరి = 36 − 9. సమాధానం: (c) 27

వేగ చిట్కాలు.

నాలుగు పదాల చక్రాన్ని చిత్తు కాగితం పైభాగంలో ఒక్కసారి రాయండి; అప్పుడు ఒకట్ల అంకె ప్రశ్నలు చాలావరకు ఒక్క లైన్‌లో అయిపోతాయి.
వర్గం కాని సంఖ్యకు కారణాంకాల సంఖ్య ఎప్పుడూ సరి; కారణాంకాల సంఖ్య బేసి అయితే ఆ సంఖ్య పూర్ణ వర్గం.

లోతైన విశ్లేషణ

ఉదాహరణ 11. 180 కారణాంకాలన్నింటి మొత్తం. సాధన. 180 = 2² × 3² × 5. మొత్తం = (1 + 2 + 4)(1 + 3 + 9)(1 + 5) = 7 × 13 × 6. సమాధానం: 546

ఉదాహరణ 12. ఒక సంఖ్యను ఒక భాజకంతో భాగిస్తే శేషం 31; అదే భాజకంతో ఆ సంఖ్య రెట్టింపును భాగిస్తే శేషం 9. భాజకం కనుక్కోండి. సాధన. 62 భాజకం కంటే తక్కువ అయితే రెట్టింపు సంఖ్యకు శేషం 62 వచ్చేది. శేషం 9, కాబట్టి భాజకం 62 − 9 = 53 (53 > 31 కాబట్టి మొదటి శేషం సాధ్యమే). సమాధానం: 53

ఉదాహరణ 13. ఒక సంఖ్యను 5 తో భాగిస్తే శేషం 2; ఆ భాగఫలాన్ని 7 తో భాగిస్తే శేషం 4. ఆ సంఖ్యను 35 తో భాగిస్తే శేషం ఎంత? సాధన. లోపలి నుంచి మొదలుపెట్టండి. అతి చిన్న భాగఫలం = 4, కాబట్టి సంఖ్య = 5 × 4 + 2 = 22. అలాంటి ప్రతి సంఖ్య 35k + 22. సమాధానం: 22

ఉదాహరణ 14. 3^2026 చివరి రెండు అంకెలు కనుక్కోండి. (a) 09 (b) 29 (c) 49 (d) 69 సాధన. 3^20 = 3,486,784,401 చివర 01. 2026 = 20 × 101 + 6, కాబట్టి చివరి రెండు అంకెలు 3^6 = 729 వే. సమాధానం: (b) 29

చివర "01" వచ్చే ఉపయోగకరమైన ఘాతాలు: 3^20, 7^4 (2,401), 9^10.
ఫ్యాక్టోరియల్‌ల మొత్తం యొక్క ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె: 5! నుంచి ప్రతి దాని ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 0, కాబట్టి 1! + 2! + … + n! (n ≥ 4) ఒకట్ల అంకె 1 + 2 + 6 + 24 = 33, అంటే 3.
n! లో చివరి సున్నాలు = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + … (పూర్తి పద్ధతి MAB-NS-09 లో).

తరచూ చేసే పొరపాట్లు

✗ "48 ÷ 4 శేషం 0, కాబట్టి మొదటి పదం తీసుకోవాలి; 8^48 చివర 8." ✓ శేషం 0 అంటే 4వ పదం: 8^48 చివర 6.
✗ "2³ × 5² కారణాంకాల సంఖ్య = 3 × 2 = 6." ✓ ప్రతి ఘాతానికి 1 కలపండి: 4 × 3 = 12.
✗ "N ÷ 255 శేషం 64, కాబట్టి N ÷ 15 శేషం కూడా 64." ✓ శేషం 15 కంటే తక్కువ ఉండాలి: 4.
✗ "1,800 సరి కారణాంకాలు = 36 ÷ 2 = 18." ✓ సరి = మొత్తం − బేసి = 36 − 9 = 27.
✗ "aⁿ + bⁿ ను a + b ఎప్పుడూ భాగిస్తుంది." ✓ n బేసి అయినప్పుడు మాత్రమే.

త్వరిత పునశ్చరణ

చక్రాలు: 2, 3, 7, 8 → పొడవు 4; 4, 9 → పొడవు 2; 0, 1, 5, 6 → స్థిరం.
ఘాతం ÷ 4 శేషం 0 అంటే చక్రంలో 4వ పదం.
p^a q^b r^c కారణాంకాలు = (a+1)(b+1)(c+1).
బేసి కారణాంకాలు: 2 ఘాతాన్ని వదిలేయండి. సరి = మొత్తం − బేసి.
పూర్ణ వర్గాలకు మాత్రమే బేసి సంఖ్యలో కారణాంకాలు ఉంటాయి.
ఘాతాల శేషాలకు, శేషం 1 లేదా −1 ఇచ్చే ఘాతాన్ని కనుక్కోండి.
శేషం భాజకం యొక్క కారణాంకానికి మాత్రమే బదిలీ అవుతుంది.
వరుస భాగహారం: చివరి భాగఫలం నుంచి బయటికి సంఖ్యను నిర్మించండి.
n బేసి అయితే aⁿ + bⁿ ÷ (a + b).
1! + 2! + … + n! (n ≥ 4) చివర 3.

Medha AI writes its own notes and checks them against the sources listed. Medha AI is an independent preparation service. It is not affiliated with, endorsed by or connected to APPSC, TGPSC (formerly TSPSC), MPSC, UPSC or any other commission or government body.