గ.సా.భా., క.సా.గు.: పద్ధతులు, పద సమస్యలు

ముఖ్య వాస్తవాలు

గ.సా.భా. (గరిష్ఠ సామాన్య భాజకం, HCF; GCD అని కూడా అంటారు): ఇచ్చిన ప్రతి సంఖ్యనూ నిశ్శేషంగా భాగించే అతి పెద్ద సంఖ్య.
క.సా.గు. (కనిష్ఠ సామాన్య గుణిజం, LCM): ఇచ్చిన ప్రతి సంఖ్యతోనూ నిశ్శేషంగా భాగించబడే అతి చిన్న సంఖ్య.
ప్రధాన కారణాంకాల పద్ధతి: గ.సా.భా. = ఉమ్మడి ప్రధాన సంఖ్యలు, వాటి కనిష్ఠ ఘాతాలతో; క.సా.గు. = అన్ని ప్రధాన సంఖ్యలు, వాటి గరిష్ఠ ఘాతాలతో.
భాగహార (యూక్లిడ్) పద్ధతి: పెద్ద సంఖ్యను చిన్న సంఖ్యతో భాగించండి, తర్వాత భాజకాన్ని శేషంతో భాగించండి; శేషం 0 అయ్యే వరకు ఇలా చేయండి. చివరి భాజకమే గ.సా.భా.
రెండు సంఖ్యలకు మాత్రమే: గ.సా.భా. × క.సా.గు. = ఆ సంఖ్యల లబ్ధం. గ.సా.భా. ఎప్పుడూ క.సా.గు.ను భాగిస్తుంది.
భిన్నాలు (కనిష్ఠ రూపంలో): గ.సా.భా. = లవాల గ.సా.భా. ÷ హారాల క.సా.గు.; క.సా.గు. = లవాల క.సా.గు. ÷ హారాల గ.సా.భా.
దశాంశాలు: అన్ని సంఖ్యలకూ ఒకే సంఖ్యలో దశాంశ స్థానాలు ఇవ్వండి, పూర్ణ సంఖ్యలతో లెక్కించండి, తర్వాత దశాంశ స్థానాలను తిరిగి ఉంచండి.
కీలక పదాలు: "గరిష్ఠ", "అతి పెద్ద పరిమాణం", "గరిష్ఠ సంఖ్యలో సమాన గుంపులు" → గ.సా.భా. "కనిష్ఠ", "మళ్లీ కలిసి", "మొదటిసారి అన్నీ కలిసి" → క.సా.గు.

ఉదాహరణ 1. 72, 120 ల గ.సా.భా., క.సా.గు. కనుక్కోండి. సాధన. 72 = 2³ × 3²; 120 = 2³ × 3 × 5. గ.సా.భా. = 2³ × 3 = 24; క.సా.గు. = 2³ × 3² × 5 = 360. సమాధానం: 24, 360

ఉదాహరణ 2. రెండు సంఖ్యల లబ్ధం 4,320; వాటి క.సా.గు. 360. గ.సా.భా. కనుక్కోండి. సాధన. గ.సా.భా. = 4,320 ÷ 360. సమాధానం: 12

ఉదాహరణ 3. భాగహార పద్ధతిలో 493, 899 ల గ.సా.భా. కనుక్కోండి. సాధన. 899 = 1 × 493 + 406; 493 = 1 × 406 + 87; 406 = 4 × 87 + 58; 87 = 1 × 58 + 29; 58 = 2 × 29. సమాధానం: 29

వివరణ

రకం 1: గ.సా.భా. లేదా క.సా.గు.తో నిష్పత్తి. సంఖ్యలను ak, bk గా రాయండి (a, b పరస్పర ప్రధానాలు); అప్పుడు గ.సా.భా. = k, క.సా.గు. = abk.

ఉదాహరణ 4. రెండు సంఖ్యల నిష్పత్తి 4 : 5; వాటి క.సా.గు. 420. వాటి మొత్తం కనుక్కోండి. (a) 168 (b) 189 (c) 210 (d) 231 సాధన. క.సా.గు. = 20k = 420, కాబట్టి k = 21. సంఖ్యలు 84, 105. సమాధానం: (b) 189

రకం 2: ఒకే శేషం ఇచ్చే కనిష్ఠ సంఖ్య. సమాధానం = క.సా.గు. × k + శేషం (కనిష్ఠ సంఖ్యకు k = 1).

ఉదాహరణ 5. 8, 12, 18, 30 లతో భాగిస్తే శేషం 5 ఇచ్చే కనిష్ఠ సంఖ్య. సాధన. క.సా.గు.(8, 12, 18, 30) = 2³ × 3² × 5 = 360. 360 + 5. సమాధానం: 365

రకం 3: ఇచ్చిన శేషాలను మిగిల్చే గరిష్ఠ సంఖ్య. ప్రతి సంఖ్య నుంచి దాని శేషాన్ని తీసివేసి, గ.సా.భా. తీసుకోండి.

ఉదాహరణ 6. 1,342, 2,058 లను భాగిస్తే వరుసగా 7, 11 శేషాలు ఇచ్చే గరిష్ఠ సంఖ్య. సాధన. 1,342 − 7 = 1,335 = 89 × 15; 2,058 − 11 = 2,047 = 89 × 23. గ.సా.భా. = 89, ఇది రెండు శేషాల కంటే పెద్దది. సమాధానం: 89

రకం 4: ప్రతిసారీ ఒకే (తెలియని) శేషం ఇచ్చే గరిష్ఠ సంఖ్య. తేడాల గ.సా.భా. తీసుకోండి.

ఉదాహరణ 7. 1,277, 3,167, 6,002 లను భాగించినప్పుడు ప్రతిసారీ ఒకే శేషం ఇచ్చే గరిష్ఠ సంఖ్య. సాధన. తేడాలు: 1,890, 2,835, 4,725. గ.సా.భా. = 945. (ప్రతి సంఖ్యకూ శేషం 332.) సమాధానం: 945

రకం 5: టైల్స్, కడ్డీలు, సమాన గుంపులు (గ.సా.భా.).

ఉదాహరణ 8. 6.24 మీ. × 4.68 మీ. నేలను, కోయకుండా, సాధ్యమైనంత పెద్ద చతురస్రాకార టైల్స్‌తో పరచాలి. ఎన్ని టైల్స్ కావాలి? సాధన. సెం.మీ.లలో: గ.సా.భా.(624, 468) = 156, కాబట్టి టైల్ భుజం 1.56 మీ. టైల్స్ = (624 ÷ 156) × (468 ÷ 156) = 4 × 3. సమాధానం: 12

రకం 6: ఘంటలు, లైట్లు, పరుగుదారులు (క.సా.గు.).

ఉదాహరణ 9. మూడు ట్రాఫిక్ లైట్లు వరుసగా 40, 56, 84 సెకన్లకు ఒకసారి మారుతాయి. అవి ఉదయం 7:45:00 కి కలిసి మారాయి. మళ్లీ ఎప్పుడు కలిసి మారుతాయి? సాధన. క.సా.గు.(40, 56, 84) = 2³ × 3 × 5 × 7 = 840 సెకన్లు = 14 నిమిషాలు. సమాధానం: ఉదయం 7:59:00

ఉదాహరణ 10. నాలుగు ఘంటలు వరుసగా 9, 12, 15, 18 నిమిషాలకు ఒకసారి మోగుతాయి, మధ్యాహ్నం 12 గంటలకు కలిసి మోగాయి. మధ్యాహ్నం 12 నుంచి 6 గంటల్లో, 12 గంటలను కూడా లెక్కిస్తే, అవి ఎన్నిసార్లు కలిసి మోగుతాయి? సాధన. క.సా.గు. = 180 నిమిషాలు. 360 ÷ 180 = 2 విరామాలు, కాబట్టి 2 + 1 సార్లు. సమాధానం: 3

వేగ చిట్కాలు.

లెక్కించే ముందే కీలక పదం చూసి గ.సా.భా.నా క.సా.గు.నా నిర్ణయించండి.
"గరిష్ఠ … శేషాలు": ముందు శేషాలను తీసివేయండి. "కనిష్ఠ … శేషం": తర్వాత దానిని కలపండి.
"కనిష్ఠ సంఖ్య" బహుళైచ్ఛిక ప్రశ్నల్లో అతి చిన్న ఆప్షన్‌ను ముందుగా చివరి షరతుతో పరీక్షించండి.

లోతైన విశ్లేషణ

స్థిరమైన లోటు. ప్రతి భాజకానికీ (భాజకం − శేషం) ఒకటే అయితే, సమాధానం = క.సా.గు. − ఆ లోటు.

ఉదాహరణ 11. 5, 6, 7 లతో భాగిస్తే వరుసగా 4, 5, 6 శేషాలు ఇచ్చే కనిష్ఠ సంఖ్య. సాధన. ప్రతి శేషం దాని భాజకం కంటే 1 తక్కువ. క.సా.గు.(5, 6, 7) − 1 = 210 − 1. సమాధానం: 209

ఉదాహరణ 12. 4, 5, 7 లతో భాగిస్తే వరుసగా 1, 2, 3 శేషాలు ఇచ్చే కనిష్ఠ సంఖ్య. (a) 13 (b) 17 (c) 37 (d) 57 సాధన. లోటులు 3, 3, 4 సమానం కావు, కాబట్టి దశలవారీగా నిర్మించండి. 7 తో భాగిస్తే శేషం 3 ఇచ్చే సంఖ్యలు: 3, 10, 17, 24, … వీటిలో 5 తో భాగిస్తే శేషం 2 ఇచ్చేవి ఉంచండి: మొదటిది 17. 17 ÷ 4 శేషం 1. సమాధానం: (b) 17

ఉదాహరణ 13. 6, 9, 15, 18 లతో భాగిస్తే శేషం 4 ఇచ్చి, 7 తో నిశ్శేషంగా భాగించబడే కనిష్ఠ సంఖ్య. సాధన. రూపం 90k + 4 (క.సా.గు. 90). 90 ను 7 తో భాగిస్తే శేషం 6; కాబట్టి 6k + 4, 7 గుణిజం కావాలి: k = 4 అయితే 28. సంఖ్య = 364 = 7 × 52. సమాధానం: 364

ఉదాహరణ 14. గ.సా.భా. 12, క.సా.గు. 360 గా ఉండే సహజ సంఖ్యల జతలు ఎన్ని? సాధన. సంఖ్యలు 12a, 12b; a, b పరస్పర ప్రధానాలు, ab = 360 ÷ 12 = 30. పరస్పర ప్రధాన జతలు: (1, 30), (2, 15), (3, 10), (5, 6). సమాధానం: 4

క.సా.గు., గ.సా.భా.కు గుణిజం కాకపోతే అలాంటి జత ఉండదు.

ఉదాహరణ 15. (i) 3/4, 5/6, 9/10 ల క.సా.గు. (ii) 4/5, 6/25, 8/15 ల గ.సా.భా. (iii) 0.48, 0.72, 1.08 ల గ.సా.భా. సాధన. (i) క.సా.గు.(3, 5, 9) ÷ గ.సా.భా.(4, 6, 10) = 45/2. (ii) గ.సా.భా.(4, 6, 8) ÷ క.సా.గు.(5, 25, 15) = 2/75. (iii) గ.సా.భా.(48, 72, 108) = 12, కాబట్టి 0.12. సమాధానం: (i) 45/2 (ii) 2/75 (iii) 0.12

నిష్పత్తిలో మూడు సంఖ్యలు. 2 : 3 : 4 నిష్పత్తిలో ఉండి గ.సా.భా. 12 గా ఉండే సంఖ్యలు 24, 36, 48; క.సా.గు. = 144.
మూడు సంఖ్యలకు లబ్ధ నియమం పనిచేయదు. గ.సా.భా. × క.సా.గు. = లబ్ధం అనేది రెండు సంఖ్యలకు మాత్రమే.

తరచూ చేసే పొరపాట్లు

✗ "6 గంటల్లో ఘంటలు 2 సార్లు కలిసి మోగుతాయి." ✓ ప్రారంభాన్నీ లెక్కించండి: ప్రశ్న "12 గంటలను కూడా లెక్కిస్తే" అంటే 3.
✗ "గ.సా.భా. × క.సా.గు. = మూడు సంఖ్యల లబ్ధం." ✓ ఈ నియమం రెండు సంఖ్యలకు మాత్రమే.
✗ "7, 11 శేషాలు ఇచ్చే గరిష్ఠ సంఖ్య: 1,342, 2,058 ల గ.సా.భా. తీసుకోండి." ✓ ముందు శేషాలు తీసివేయండి: 1,335, 2,047 ల గ.సా.భా.
✗ "ప్రతిసారీ ఒకే శేషం: సంఖ్యల గ.సా.భా. తీసుకోండి." ✓ వాటి తేడాల గ.సా.భా. తీసుకోండి.
✗ "భిన్నాల క.సా.గు. = లవాల క.సా.గు. ÷ హారాల క.సా.గు." ✓ హారాల గ.సా.భా.తో భాగించండి.
✗ "రెండు సంఖ్యలకు గ.సా.భా. 12, క.సా.గు. 90 ఉండవచ్చు." ✓ క.సా.గు. తప్పనిసరిగా గ.సా.భా.కు గుణిజం కావాలి; అలాంటి జత లేదు.

త్వరిత పునశ్చరణ

గ.సా.భా.: ఉమ్మడి ప్రధాన సంఖ్యల కనిష్ఠ ఘాతాలు. క.సా.గు.: అన్ని ప్రధాన సంఖ్యల గరిష్ఠ ఘాతాలు.
రెండు సంఖ్యలు: గ.సా.భా. × క.సా.గు. = లబ్ధం; గ.సా.భా., క.సా.గు.ను భాగిస్తుంది.
భిన్నాలు: గ.సా.భా. = గ.సా.భా.(లవాలు)/క.సా.గు.(హారాలు); క.సా.గు. = క.సా.గు.(లవాలు)/గ.సా.భా.(హారాలు).
ఒకే శేషం r: సమాధానం = క.సా.గు. × k + r.
స్థిరమైన లోటు d: క.సా.గు. − d.
ఇచ్చిన శేషాలతో గరిష్ఠ భాజకం: (సంఖ్య − శేషం) ల గ.సా.భా.
ఒకే తెలియని శేషంతో గరిష్ఠ భాజకం: తేడాల గ.సా.భా.
టైల్స్, సమాన గుంపులు: గ.సా.భా.; ఘంటలు, లైట్లు: క.సా.గు., ప్రారంభానికి 1 కలపండి.
గ.సా.భా. h, క.సా.గు. l ఉండే జతలు: లబ్ధం l/h అయ్యే పరస్పర ప్రధాన జతలు.

Medha AI writes its own notes and checks them against the sources listed. Medha AI is an independent preparation service. It is not affiliated with, endorsed by or connected to APPSC, TGPSC (formerly TSPSC), MPSC, UPSC or any other commission or government body.