సూక్ష్మీకరణ, ఉజ్జాయింపు: బోడ్‌మాస్, కరణులు…

ముఖ్య వాస్తవాలు

బోడ్‌మాస్ (BODMAS) నియమం: బ్రాకెట్లు → 'ఆఫ్' (Of) → భాగహారం, గుణకారం (ఎడమ నుంచి కుడికి) → కూడిక, తీసివేత (ఎడమ నుంచి కుడికి). 'ఆఫ్' అంటే గుణకారం.
బ్రాకెట్లను లోపలి నుంచి తెరవండి: ముందు ( ), తర్వాత { }, తర్వాత [ ]. పదాలపై ఉండే గీత (రేఖా బ్రాకెట్, vinculum) బ్రాకెట్‌లాగే పనిచేస్తుంది.
సర్వసమీకరణాలు:
- (a + b)² = a² + 2ab + b²; (a − b)² = a² − 2ab + b²; a² − b² = (a + b)(a − b)
- (a + b)² − (a − b)² = 4ab; (a + b)² + (a − b)² = 2(a² + b²)
- a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²); a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
- a + b + c = 0, అయితే a³ + b³ + c³ = 3abc.
ఘాతాంక నియమాలు: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ; (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ; a⁰ = 1; a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
అకరణీకరణం: 1/(√a − √b) = (√a + √b)/(a − b).
శ్రేణి మొత్తాలు: 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2; 1² + … + n² = n(n+1)(2n+1)/6; 1³ + … + n³ = [n(n+1)/2]².

ఉదాహరణ 1. 48 ÷ 6 × 2 + 3 of 4 − 5 ను సూక్ష్మీకరించండి. సాధన. ముందు 'ఆఫ్': 3 of 4 = 12. తర్వాత ఎడమ నుంచి కుడికి: 48 ÷ 6 = 8, × 2 = 16. 16 + 12 − 5. సమాధానం: 23

ఉదాహరణ 2. 20 − [8 − {6 − (4 − 1)}] ను సూక్ష్మీకరించండి. సాధన. (4 − 1) = 3; {6 − 3} = 3; [8 − 3] = 5; 20 − 5. సమాధానం: 15

ఉదాహరణ 3. దీర్ఘ గుణకారం లేకుండా 103 × 97 కనుక్కోండి. సాధన. (100 + 3)(100 − 3) = 10,000 − 9. సమాధానం: 9,991

వివరణ

రకం 1: మారువేషంలో సర్వసమీకరణం. సౌష్ఠవంగా అమర్చిన పెద్ద సంఖ్యలు దాదాపు ఎప్పుడూ ఏదో ఒక సర్వసమీకరణానికి సరిపోతాయి.

ఉదాహరణ 4. [(467 + 133)² − (467 − 133)²] ÷ (467 × 133) విలువ. (a) 2 (b) 4 (c) 600 (d) 334 సాధన. (a + b)² − (a − b)² = 4ab, కాబట్టి భాగఫలం 4. సమాధానం: (b) 4

ఉదాహరణ 5. (0.7³ + 0.3³) ÷ (0.7² − 0.7 × 0.3 + 0.3²) విలువ. సాధన. (a³ + b³)/(a² − ab + b²) = a + b = 0.7 + 0.3. సమాధానం: 1

ఉదాహరణ 6. 17³ − 9³ − 8³ విలువ. సాధన. a = 17, b = −9, c = −8 తీసుకోండి; a + b + c = 0. కాబట్టి విలువ = 3abc = 3 × 17 × (−9) × (−8). సమాధానం: 3,672

రకం 2: లోపించిన సంఖ్య కనుక్కోవడం. ప్రతి వైపును విడిగా సూక్ష్మీకరించి, తర్వాత సాధించండి.

ఉదాహరణ 7. 480 లో 25% + ? = 350 లో 3/5. సాధన. 120 + ? = 210. సమాధానం: 90

రకం 3: ఉజ్జాయింపు. ప్రతి సంఖ్యను సులభమైన విలువకు సవరించండి; ఆప్షన్‌లు సాధారణంగా ఒకదానికొకటి దూరంగా ఉంటాయి.

ఉదాహరణ 8. 601.8 లో 39.97% + 14.02 × 9.98 ≈ ? (a) 320 (b) 350 (c) 380 (d) 420 సాధన. 600 లో 40% = 240; 14 × 10 = 140; 240 + 140 = 380. (కచ్చితమైన విలువ 380.46.) సమాధానం: (c) 380

రకం 4: టెలిస్కోపింగ్ మొత్తాలు, లబ్ధాలు. పక్క పదాలు ఒకదానినొకటి రద్దు చేసుకునేలా ప్రతి పదాన్ని విడదీయండి.

ఉదాహరణ 9. 1/(2×3) + 1/(3×4) + … + 1/(29×30). సాధన. 1/(n(n+1)) = 1/n − 1/(n+1). మొత్తం = 1/2 − 1/30 = 14/30. సమాధానం: 7/15

ఉదాహరణ 10. (1 − 1/3)(1 − 1/4)(1 − 1/5) … (1 − 1/40). సాధన. = (2/3)(3/4)(4/5) … (39/40). 2/40 తప్ప అన్నీ రద్దవుతాయి. సమాధానం: 1/20

వేగ చిట్కాలు.

లెక్కించే ముందు a², b², 2ab లేదా a³, b³ అమరికల కోసం చూడండి; సంఖ్యలను వాటిలో ఒకదానికి సరిపోయేలా ఎంచుకుంటారు.
ఉజ్జాయింపు ప్రశ్నల్లో ఎంత స్థూలంగా సవరించాలో నిర్ణయించే ముందు ఆప్షన్‌లు ఒకదానికొకటి ఎంత దూరంలో ఉన్నాయో చూడండి.
భాగహారం, గుణకారం ఎడమ నుంచి కుడికి జరుగుతాయి; BODMAS లో "M" ఉందని ÷ కంటే ముందు × ఎప్పుడూ చేయకండి.

లోతైన విశ్లేషణ

ఉదాహరణ 11. 1/(1×4) + 1/(4×7) + 1/(7×10) + … + 1/(28×31). సాధన. ఇక్కడ కారణాంకాల మధ్య తేడా 3: 1/(n(n+3)) = (1/3)(1/n − 1/(n+3)). మొత్తం = (1/3)(1 − 1/31) = (1/3)(30/31). సమాధానం: 10/31

ఉదాహరణ 12. (i) 1³ + 2³ + … + 15³. (ii) 6³ + 7³ + 8³ + 9³ + 10³. సాధన. (i) [15 × 16/2]² = 120². (ii) 10 వరకు మొత్తం నుంచి 5 వరకు మొత్తం తీసివేయండి: 55² − 15² = 3,025 − 225. సమాధానం: (i) 14,400 (ii) 2,800

ఉదాహరణ 13. 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/2)) ను సూక్ష్మీకరించండి. సాధన. కింది నుంచి మొదలుపెట్టండి: 1 + 1/2 = 3/2; 1 + 2/3 = 5/3; 1 + 3/5. సమాధానం: 8/5

ఉదాహరణ 14. x + 1/x = 5, అయితే x³ + 1/x³ కనుక్కోండి. (a) 110 (b) 115 (c) 120 (d) 125 సాధన. x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ − 3(x + 1/x) = 125 − 15. సమాధానం: (a) 110

దీనికి తోడు: x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2 = 23.

ఉదాహరణ 15. 7/9, 11/14, 15/19, 19/24 లలో ఏది పెద్దది? సాధన. ప్రతి భిన్నం 1 నుంచి కొంత తీసివేసినది: 2/9, 3/14, 4/19, 5/24. అతి చిన్న తేడా ఉన్నదే అతి పెద్ద భిన్నం; 0.222, 0.214, 0.211, 0.208 లలో 5/24 ≈ 0.208 అతి చిన్నది. సమాధానం: 19/24

ఇతర పద్ధతులు: రెండేసి భిన్నాలను అడ్డ గుణకారం చేయండి (ad > bc అయితే a/b > c/d), లేదా రెండు దశాంశ స్థానాల వరకు భాగించండి.
ఒక వ్యాప్తిలో వర్గాల మొత్తం: 21² + … + 30² = 9,455 − 2,870 = 6,585 (30 వరకు మొత్తం నుంచి 20 వరకు మొత్తం తీసివేయండి).
ప్రతిక్షేపణతో సరిచూడటం: √2 ≈ 1.414, √3 ≈ 1.732, √5 ≈ 2.236 విలువలను అసలు సమాసంలో ఉంచి, ఆప్షన్‌లతో పోల్చండి.

తరచూ చేసే పొరపాట్లు

✗ "గుణకారం ముందు వస్తుంది కాబట్టి 8 ÷ 2 × 4 = 1." ✓ భాగహారం, గుణకారం ఎడమ నుంచి కుడికి: (8 ÷ 2) × 4 = 16.
✗ "x² + 1/x² = (x + 1/x)²." ✓ 2 తీసివేయండి: (x + 1/x)² − 2.
✗ "x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³." ✓ 3(x + 1/x) తీసివేయండి.
✗ "√(a + b) = √a + √b." ✓ ఇది లబ్ధాలకు మాత్రమే వర్తిస్తుంది: √(ab) = √a × √b.
✗ "1/(1×4) + … టెలిస్కోపింగ్ మొత్తం 1 − 1/31 అవుతుంది." ✓ తేడా 3 తో భాగించండి: (1/3)(1 − 1/31).
✗ "a⁰ = 0." ✓ సున్నా కాని ఏ a కైనా a⁰ = 1.

త్వరిత పునశ్చరణ

బోడ్‌మాస్; ÷ కంటే ముందు 'ఆఫ్'; ÷, × ఎడమ నుంచి కుడికి.
(a + b)² − (a − b)² = 4ab.
a + b + c = 0 ⇒ a³ + b³ + c³ = 3abc.
x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2; x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ − 3(x + 1/x).
Σn = n(n+1)/2; Σn² = n(n+1)(2n+1)/6; Σn³ = [n(n+1)/2]².
1/(n(n+k)) = (1/k)(1/n − 1/(n+k)).
(1 − 1/n) వంటి లబ్ధాలు మొదటి లవం ÷ చివరి హారం గా మిగులుతాయి.
వితత భిన్నాలు: కింది నుంచి పైకి సూక్ష్మీకరించండి.
1 కి దగ్గరగా ఉన్న భిన్నాలను 1 నుంచి వాటి తేడాతో పోల్చండి.
ఆప్షన్‌ల మధ్య తేడా అనుమతించినంత స్థూలంగానే ఉజ్జాయింపు చేయండి.

Medha AI writes its own notes and checks them against the sources listed. Medha AI is an independent preparation service. It is not affiliated with, endorsed by or connected to APPSC, TGPSC (formerly TSPSC), MPSC, UPSC or any other commission or government body.