సంఖ్యా చిక్కుప్రశ్నలు: అంకెలు, మొత్తాలు, తేడాలు

ముఖ్య వాస్తవాలు

పదుల స్థానంలో అంకె a, ఒకట్ల స్థానంలో అంకె b ఉన్న రెండంకెల సంఖ్య = 10a + b; తారుమారు చేస్తే 10b + a.
- తారుమారు సంఖ్యతో మొత్తం = 11(a + b).
- తారుమారు సంఖ్యతో తేడా = 9(a − b).
మూడంకెల సంఖ్య abc = 100a + 10b + c. abc − cba = 99(a − c).
వరుస సంఖ్యలు: x, x + 1, x + 2. వరుస సరి లేదా బేసి సంఖ్యలు: x, x + 2, x + 4.
వరుస సంఖ్యల లెక్క బేసి అయితే మధ్య సంఖ్య = మొత్తం ÷ సంఖ్యల లెక్క.
అంకశ్రేఢి (AP) లో అంకెలు: మూడు అంకెలకు, మధ్య అంకె = అంకెల మొత్తం ÷ 3.
అక్షర–అంకెల చిక్కుప్రశ్నల్లో (క్రిప్టారిథమ్) వేర్వేరు అక్షరాలు వేర్వేరు అంకెలు; మొదటి అక్షరం ఎప్పుడూ 0 కాదు.

ఉదాహరణ 1. ఒక రెండంకెల సంఖ్య అంకెల మొత్తం 9. అంకెలను తారుమారు చేస్తే సంఖ్య 27 పెరుగుతుంది. ఆ సంఖ్య కనుక్కోండి. సాధన. 9(b − a) = 27, కాబట్టి b − a = 3; a + b = 9. a = 3, b = 6. సమాధానం: 36

ఉదాహరణ 2. ఒక రెండంకెల సంఖ్య దాని తారుమారు సంఖ్య కంటే 63 ఎక్కువ, దాని అంకెల మొత్తం 11. ఆ సంఖ్య కనుక్కోండి. సాధన. 9(a − b) = 63, కాబట్టి a − b = 7; a + b = 11. a = 9, b = 2. సమాధానం: 92

ఉదాహరణ 3. మూడు వరుస బేసి సంఖ్యల మొత్తం 87. వాటిని కనుక్కోండి. సాధన. మధ్య సంఖ్య = 87 ÷ 3 = 29. సమాధానం: 27, 29, 31

వివరణ

రకం 1: అంకెల మొత్తానికి గుణిజంగా సంఖ్య. విస్తరించి సూక్ష్మీకరిస్తే అంకెల మధ్య సంబంధం వస్తుంది.

ఉదాహరణ 4. ఒక రెండంకెల సంఖ్య దాని అంకెల మొత్తానికి 7 రెట్లు, అది దాని తారుమారు సంఖ్య కంటే 36 ఎక్కువ. ఆ సంఖ్య కనుక్కోండి. (a) 42 (b) 63 (c) 84 (d) 73 సాధన. 10a + b = 7a + 7b నుంచి a = 2b. 9(a − b) = 36 నుంచి a − b = 4. కాబట్టి b = 4, a = 8. సమాధానం: (c) 84

రకం 2: తారుమారుతో అంకెల లబ్ధం.

ఉదాహరణ 5. ఒక రెండంకెల సంఖ్య అంకెల లబ్ధం 18. దాని నుంచి 27 తీసివేస్తే అంకెలు తారుమారవుతాయి. ఆ సంఖ్య కనుక్కోండి. సాధన. 9(a − b) = 27, కాబట్టి a = b + 3. (b + 3)b = 18 నుంచి b = 3, a = 6. సమాధానం: 63

రకం 3: మూడంకెల సంఖ్యలు.

ఉదాహరణ 6. ఒక మూడంకెల సంఖ్య అంకెలు అంకశ్రేఢిలో ఉన్నాయి, వాటి మొత్తం 12. దాని నుంచి 396 తీసివేస్తే సంఖ్య తారుమారవుతుంది. ఆ సంఖ్య కనుక్కోండి. సాధన. మధ్య అంకె = 12 ÷ 3 = 4. 99(a − c) = 396, కాబట్టి a − c = 4; a + c = 8. a = 6, c = 2. సమాధానం: 642

రకం 4: అంకెల ప్రస్తారాలతో ఏర్పడే సంఖ్యలన్నింటి మొత్తం. n వేర్వేరు అంకెలు ఉంటే, ప్రతి అంకె ప్రతి స్థానంలో (n − 1)! సార్లు వస్తుంది. మొత్తం = (అంకెల మొత్తం) × (n − 1)! × 11…1 (n ఒకట్లు).

ఉదాహరణ 7. 2, 4, 7 అంకెలను ఒక్కొక్కటి ఒక్కసారి వాడి ఏర్పరచే మూడంకెల సంఖ్యలన్నింటి మొత్తం కనుక్కోండి. సాధన. (2 + 4 + 7) × 2! × 111 = 13 × 2 × 111. సమాధానం: 2,886

రకం 5: గుర్తుల చిక్కుప్రశ్నలు. రెండు ఉదాహరణల నుంచి నియమం కనుక్కోండి, మూడో దానిపై నిర్ధారించండి, తర్వాత వర్తింపజేయండి.

ఉదాహరణ 8. 2 * 5 = 14, 3 * 4 = 21, 5 * 2 = 35 అయితే 6 * 3 విలువ ఎంత? (a) 45 (b) 54 (c) 63 (d) 36 సాధన. నియమం a² + ab: 4 + 10 = 14, 9 + 12 = 21, 25 + 10 = 35. కాబట్టి 36 + 18 = 54. సమాధానం: (b) 54

ఉదాహరణ 9. పూర్ణ సంఖ్యలకు a > b అయితే a ◊ b = a − b, a < b అయితే a + b, a = b అయితే ab. (7 ◊ 4) ◊ (3 ◊ 3) కనుక్కోండి. సాధన. 7 ◊ 4 = 3; 3 ◊ 3 = 9; 3 ◊ 9 = 3 + 9 (ఎందుకంటే 3 < 9). సమాధానం: 12

వేగ చిట్కాలు.

పూర్తి సమీకరణాలు నిర్మించే బదులు 11(a + b), 9(a − b) సూత్రాలను నేరుగా వాడండి.
బహుళైచ్ఛిక ప్రశ్నల్లో ఆప్షన్‌లను ముందుగా సులభమైన షరతుతో (తారుమారు తేడా), తర్వాత రెండో షరతుతో పరీక్షించండి.
గుర్తుల నియమం ఇచ్చిన ప్రతి ఉదాహరణకూ సరిపోవాలి, రెండింటికే కాదు.

లోతైన విశ్లేషణ

ఉదాహరణ 10. ABC × 3 = CCC; ఇక్కడ A, B, C వేర్వేరు అంకెలు. A + B + C కనుక్కోండి. సాధన. CCC = 111 × C, కాబట్టి ABC = 37 × C. 37C ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె C కావాలి: C = 0 లేదా 5 అయినప్పుడే 7C చివర C వస్తుంది. C = 5 అయితే 185 (185 × 3 = 555). సమాధానం: 14

ఉదాహరణ 11. AB × B = CCB; ఇక్కడ A, B, C వేర్వేరు సున్నా కాని అంకెలు, C బేసి. AB కనుక్కోండి. సాధన. B × B చివర B రావాలి, కాబట్టి B అనేది 1, 5 లేదా 6. B = 1 అయితే లబ్ధం రెండంకెల సంఖ్య, చాలా చిన్నది. B = 5: 45 × 5 = 225, కానీ C = 2 సరి. B = 6: 56 × 6 = 336. సమాధానం: 56

"C బేసి" షరతు లేకపోతే 45, 56 రెండూ సరిపోతాయి; ప్రతి షరతునూ చదవండి.

ఉదాహరణ 12. అంకెల మొత్తం 6 గా ఉండే మూడంకెల సంఖ్యలు ఎన్ని? (a) 15 (b) 18 (c) 21 (d) 28 సాధన. a = a′ + 1 గా రాయండి (a ≥ 1). అప్పుడు 0 లేదా అంతకంటే ఎక్కువ పూర్ణ సంఖ్యల్లో a′ + b + c = 5. విధాలు = C(5 + 2, 2) = C(7, 2). సమాధానం: (c) 21

ఉదాహరణ 13. ఏ మూడంకెల సంఖ్య దాని అంకెల మొత్తానికి 11 రెట్లు? సాధన. 100a + 10b + c = 11(a + b + c) నుంచి 89a = b + 10c. కుడి వైపు గరిష్ఠంగా 99, కాబట్టి a = 1 మరియు b + 10c = 89: c = 8, b = 9. సమాధానం: 198

ఉదాహరణ 14. 13 × 17 × 19 × 23 = 96,5X7. X కనుక్కోండి. సాధన. వేగవంతమైన మార్గం: 9 తో భాగిస్తే వచ్చే శేషాలను పోల్చండి. 13, 17, 19, 23 లకు శేషాలు 4, 8, 1, 5, వీటి లబ్ధం 4 × 8 × 1 × 5 = 160 కు శేషం 7. 965X7 అంకెల మొత్తం 27 + X, దాని శేషం X. కాబట్టి X = 7. గుణించి సరిచూడండి: 221 × 19 = 4,199; 4,199 × 23 = 96,577. సమాధానం: 7

తరచూ చేసే పొరపాట్లు

✗ "abc − cba = 9(a − c)." ✓ మూడు అంకెలకు ఇది 99(a − c).
✗ "మూడు వరుస బేసి సంఖ్యలు: x, x + 1, x + 2." ✓ అవి 2 చొప్పున పెరుగుతాయి: x, x + 2, x + 4.
✗ "2, 4, 7 ప్రస్తారాల మొత్తం = 13 × 111." ✓ ప్రతి అంకె ప్రతి స్థానంలో 2! = 2 సార్లు వస్తుంది: 13 × 2 × 111 = 2,886.
✗ "అంకెల మొత్తం 6 గా ఉండే మూడంకెల సంఖ్యలు = C(8, 2) = 28." ✓ వందల స్థానంలోని అంకె 0 కాకూడదు: C(7, 2) = 21.
✗ "నియమం మొదటి రెండు ఉదాహరణలకు సరిపోయింది, కాబట్టి సరైనదే." ✓ ప్రతి ఉదాహరణపై సరిచూడండి.

త్వరిత పునశ్చరణ

రెండంకెల సంఖ్య: 10a + b; తారుమారు 10b + a.
తారుమారుతో మొత్తం 11(a + b); తేడా 9(a − b).
మూడంకెల సంఖ్యకు తారుమారుతో తేడా 99(a − c).
వరుస సంఖ్యల మధ్య సంఖ్య = మొత్తం ÷ సంఖ్యల లెక్క.
అంకశ్రేఢిలో అంకెలు: మధ్య అంకె = మొత్తం ÷ 3.
ప్రస్తారాల మొత్తం = (అంకెల మొత్తం) × (n − 1)! × 11…1.
అంకెల మొత్తం లెక్కింపు: మొదటి అంకెను 1 తగ్గించి, తర్వాత C(s + 2, 2).
అక్షర–అంకెల చిక్కుప్రశ్న: ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె, ఫలితం పరిమాణం నుంచి మొదలుపెట్టండి.
గుర్తుల నియమం ప్రతి ఉదాహరణకూ సరిపోవాలి.

Medha AI writes its own notes and checks them against the sources listed. Medha AI is an independent preparation service. It is not affiliated with, endorsed by or connected to APPSC, TGPSC (formerly TSPSC), MPSC, UPSC or any other commission or government body.