దశాంశ భిన్నాలు, ఆవర్తన దశాంశాలు: మార్పిడి, పోలిక

ముఖ్య వాస్తవాలు

దశాంశ భిన్నం: హారం 10 యొక్క ఘాతంగా ఉండే భిన్నం (0.07 = 7/100).
దశాంశం నుంచి భిన్నం: అంకెలను లవంగా రాసి, హారంగా 1 తర్వాత దశాంశ స్థానాలు ఎన్ని ఉంటే అన్ని సున్నాలు రాయండి, తర్వాత కుదించండి: 0.875 = 875/1,000 = 7/8.
అంతమయ్యే పరీక్ష: కనిష్ఠ రూపంలో ఉన్న భిన్నం హారానికి 2, 5 తప్ప వేరే ప్రధాన కారణాంకం లేకపోతేనే అది అంతమవుతుంది. దశాంశ స్థానాల సంఖ్య = 2, 5 ఘాతాల్లో పెద్దది.
సంకేతం: ఈ నోట్‌లో బ్రాకెట్లలోని అంకెలు పునరావృతమవుతాయి: 0.(36) = 0.363636…; 0.2(45) = 0.2454545…
శుద్ధ ఆవర్తన దశాంశం (దశాంశ బిందువు తర్వాత అన్ని అంకెలూ పునరావృతం): లవం = పునరావృతమయ్యే బ్లాక్; హారం = బ్లాక్‌లో ఎన్ని అంకెలు ఉన్నాయో అన్ని 9లు. 0.(7) = 7/9; 0.(36) = 36/99.
మిశ్రమ ఆవర్తన దశాంశం: లవం = (బిందువు తర్వాత అన్ని అంకెలు) − (పునరావృతం కాని అంకెలు); హారం = పునరావృత అంకెలు ఎన్ని ఉంటే అన్ని 9లు, వాటి తర్వాత పునరావృతం కాని అంకెలు ఎన్ని ఉంటే అన్ని 0లు. 0.2(45) = (245 − 2)/990.
దశాంశాల గుణకారం: పూర్ణ సంఖ్యల్లా గుణించండి; సమాధానంలో దశాంశ స్థానాలు = దశాంశ స్థానాల మొత్తం.
దశాంశాల భాగహారం: భాజకం పూర్ణ సంఖ్య అయ్యేవరకు రెండు సంఖ్యల్లోనూ బిందువును జరపండి.
దశాంశం కుడి చివర సున్నాలు చేర్చినా విలువ మారదు: 0.5 = 0.50 = 0.500.

ఉదాహరణ 1. 0.875 ను కనిష్ఠ రూప భిన్నంగా రాయండి. సాధన. 875/1,000; 125 తో భాగించండి. సమాధానం: 7/8

ఉదాహరణ 2. 0.(36) ను భిన్నంగా రాయండి. సాధన. 36/99 = 4/11. సమాధానం: 4/11

ఉదాహరణ 3. 0.18 × 0.05 కనుక్కోండి. సాధన. 18 × 5 = 90; స్థానాలు 2 + 2 = 4, కాబట్టి 0.0090. సమాధానం: 0.009

వివరణ

రకం 1: మిశ్రమ ఆవర్తన దశాంశం నుంచి భిన్నం.

ఉదాహరణ 4. 0.2(45) ను కనిష్ఠ రూప భిన్నంగా రాయండి. (a) 27/110 (b) 243/999 (c) 245/990 (d) 27/99 సాధన. (245 − 2)/990 = 243/990; 9 తో భాగించండి: 27/110. సమాధానం: (a) 27/110

ఉదాహరణ 5. 3.1(6) ను భిన్నంగా రాయండి. సాధన. పూర్ణ భాగం 3 అలాగే ఉంటుంది. 0.1(6) = (16 − 1)/90 = 15/90 = 1/6. కాబట్టి 3 + 1/6. సమాధానం: 19/6

రకం 2: అంతమవుతుందా, ఎన్ని స్థానాల తర్వాత? ముందు భిన్నాన్ని కుదించండి.

ఉదాహరణ 6. వీటిలో ఏది అంతమయ్యే దశాంశాన్ని ఇవ్వదు? (a) 17/80 (b) 21/56 (c) 9/75 (d) 13/60 సాధన. 17/80: 80 = 2⁴ × 5, అంతమవుతుంది. 21/56 = 3/8, అంతమవుతుంది. 9/75 = 3/25, అంతమవుతుంది. 13/60: 60 = 2² × 3 × 5 లో 3 ఉంది. సమాధానం: (d) 13/60

ఉదాహరణ 7. 23/(2³ × 5⁴) ఎన్ని దశాంశ స్థానాల తర్వాత అంతమవుతుంది? సాధన. పెద్ద ఘాతం 4, కాబట్టి 4 స్థానాలు (ఇది 0.0046 కు సమానం). సమాధానం: 4

రకం 3: దశాంశాల భాగహారం.

ఉదాహరణ 8. 0.0084 ÷ 0.12 కనుక్కోండి. సాధన. రెండింటినీ 100 తో గుణించండి: 0.84 ÷ 12 = 0.07. సమాధానం: 0.07

రకం 4: భిన్నాలను క్రమంలో అమర్చడం. ప్రతి దానిని 3 స్థానాల దశాంశంగా మార్చండి, లేదా జతలను అడ్డ గుణకారంతో పోల్చండి.

ఉదాహరణ 9. 4/7, 5/9, 7/12, 9/16 లను ఆరోహణ క్రమంలో అమర్చండి. సాధన. 4/7 ≈ 0.571, 5/9 ≈ 0.556, 7/12 ≈ 0.583, 9/16 = 0.5625. సమాధానం: 5/9 < 9/16 < 4/7 < 7/12

రకం 5: ఆవర్తన దశాంశాల మొత్తాలు. భిన్నాలుగా మార్చి, కూడి, అవసరమైతే తిరిగి దశాంశంగా మార్చండి.

ఉదాహరణ 10. 0.(4) + 0.(5) + 0.(6) కనుక్కోండి. సాధన. (4 + 5 + 6)/9 = 15/9 = 5/3 = 1.(6). సమాధానం: 5/3

ఉదాహరణ 11. (0.6 × 0.6 − 0.4 × 0.4) ÷ (0.6 − 0.4) ను సూక్ష్మీకరించండి. సాధన. (a² − b²)/(a − b) = a + b = 1. సమాధానం: 1

వేగ చిట్కాలు.

సాధారణ దశాంశాలు నేర్చుకోండి: 1/8 = 0.125, 3/8 = 0.375, 5/8 = 0.625, 7/8 = 0.875, 1/16 = 0.0625, 1/7 = 0.(142857), 1/9 = 0.(1), 1/11 = 0.(09), 1/12 = 0.08(3).
కంటితో "బిందువును జరపడం" కంటే దశాంశ స్థానాలు లెక్కించడం సురక్షితం; లెక్కను రాసి పెట్టుకోండి.

లోతైన విశ్లేషణ

ఉదాహరణ 12. 1/7 లో దశాంశ బిందువు తర్వాత 100వ స్థానంలో ఏ అంకె ఉంటుంది? సాధన. 1/7 = 0.(142857), ఆవర్తన పొడవు 6. 100 = 6 × 16 + 4, కాబట్టి 100వ అంకె బ్లాక్‌లోని 4వ అంకె, అంటే 8. సమాధానం: 8

ఉదాహరణ 13. 3/11 లో దశాంశ బిందువు తర్వాత మొదటి 20 అంకెల మొత్తం కనుక్కోండి. సాధన. 3/11 = 0.(27). ఇరవై అంకెలు = "27" యొక్క పది బ్లాకులు, ఒక్కో బ్లాక్ మొత్తం 9. సమాధానం: 90

ఉదాహరణ 14. 1/3.718 = 0.26896 (5 స్థానాల వరకు) అయితే, 1/0.0003718 కనుక్కోండి. సాధన. 0.0003718 = 3.718 ÷ 10⁴, కాబట్టి దాని విలోమం = 0.26896 × 10⁴. సమాధానం: 2,689.6

ఉదాహరణ 15. 0.(ab) + 0.(ba) ను అంకెలు a, b లలో కనుక్కోండి; దానిని 0.(38) + 0.(83) కు వాడండి. సాధన. (10a + b)/99 + (10b + a)/99 = 11(a + b)/99 = (a + b)/9. a = 3, b = 8 అయితే: 11/9. సమాధానం: (a + b)/9; 11/9

0.(9) = 1 కచ్చితంగా, "1 కంటే కొంచెం తక్కువ" కాదు: 9/9 = 1. అలాగే 0.4(9) = 0.5.
ఆవర్తన పొడవు (CSAT స్థాయి వాస్తవం): 2, 5 కాకుండా మరో ప్రధాన సంఖ్య p అయితే 1/p ఆవర్తన పొడవు p − 1 ను భాగిస్తుంది. 1/7 ఆవర్తన పొడవు 6; 1/13 = 0.(076923) ఆవర్తన పొడవు కూడా 6; 1/11 ఆవర్తన పొడవు 2.
ఆవర్తన దశాంశాల గుణకారం: ముందు భిన్నాలుగా మార్చండి. 0.(7) × 0.(3) = 7/9 × 3/9 = 7/27.

తరచూ చేసే పొరపాట్లు

✗ "0.2(45) = 245/999." ✓ "45" మాత్రమే పునరావృతమవుతుంది: (245 − 2)/990 = 27/110.
✗ "56 లో 7 ఉంది కాబట్టి 21/56 అంతం కాదు." ✓ ముందు కుదించండి: 21/56 = 3/8, ఇది అంతమవుతుంది.
✗ "0.18 × 0.05 = 0.09." ✓ స్థానాలు కలుస్తాయి: 2 + 2 = 4, కాబట్టి 0.0090 = 0.009.
✗ "0.(9) అనేది 1 కంటే కొంచెం తక్కువ." ✓ 0.(9) = 1 కచ్చితంగా.
✗ "0.0084 ÷ 0.12 = 0.7." ✓ రెండు బిందువులనూ రెండు స్థానాలు జరపండి: 0.84 ÷ 12 = 0.07.

త్వరిత పునశ్చరణ

కుదించిన హారంలో 2లు, 5లు మాత్రమే ఉంటేనే అంతమవుతుంది.
దశాంశ స్థానాలు = హారంలోని 2, 5 ఘాతాల్లో పెద్దది.
శుద్ధ ఆవర్తనం: బ్లాక్ / అన్ని 9లు.
మిశ్రమ ఆవర్తనం: (అన్ని అంకెలు − పునరావృతం కాని అంకెలు) / 9లు, తర్వాత 0లు.
దశాంశాల లబ్ధం: దశాంశ స్థానాలను కూడండి.
భాగహారం: ముందు భాజకాన్ని పూర్ణ సంఖ్యగా చేయండి.
0.(ab) + 0.(ba) = (a + b)/9.
1/7 = 0.(142857); n వ అంకెను n ను 6 తో భాగించగా వచ్చే శేషం నుంచి కనుక్కోవచ్చు.
0.(9) = 1.
1/8 = 0.125, 1/16 = 0.0625, 1/12 = 0.08(3).

Medha AI writes its own notes and checks them against the sources listed. Medha AI is an independent preparation service. It is not affiliated with, endorsed by or connected to APPSC, TGPSC (formerly TSPSC), MPSC, UPSC or any other commission or government body.