వర్గాలు, వర్గమూలాలు, ఘనాలు, ఘనమూలాలు…

ముఖ్య వాస్తవాలు

30 వరకు వర్గాలు, 15 వరకు ఘనాలు నేర్చుకోండి. ఉపయోగకరమైనవి: 13² = 169, 17² = 289, 19² = 361, 23² = 529, 27² = 729; 11³ = 1,331, 12³ = 1,728, 13³ = 2,197, 14³ = 2,744, 15³ = 3,375.
కారణాంకాల ద్వారా వర్గమూలం: ప్రధాన కారణాంకాలను జతలుగా చేసి, ప్రతి జత నుంచి ఒకటి తీసుకోండి. ఘనమూలం: మూడేసిగా గుంపులు చేయండి.
పూర్ణ వర్గంలో ప్రతి ప్రధాన ఘాతం సరి; సంపూర్ణ ఘనంలో ప్రతి ఘాతం 3 గుణిజం.
వర్గాల చివరి అంకె: 0, 1, 4, 5, 6, 9 మాత్రమే. 2, 3, 7 లేదా 8, లేదా బేసి సంఖ్యలో సున్నాలతో వర్గం ఎప్పుడూ అంతం కాదు.

వర్గం చివర	మూలం చివర
1	1 లేదా 9
4	2 లేదా 8
9	3 లేదా 7
6	4 లేదా 6
5	5

ఘనాలలో 0, 1, 4, 5, 6, 9 లకు చివరి అంకె అలాగే ఉంటుంది; 2 ↔ 8, 3 ↔ 7 పరస్పరం మారతాయి.
అంకెలు: n-అంకెల సంఖ్య వర్గానికి 2n − 1 లేదా 2n అంకెలు ఉంటాయి. 2k-అంకెల లేదా (2k − 1)-అంకెల వర్గం మూలానికి k అంకెలు ఉంటాయి.
దశాంశాల మూలాలు: దశాంశ స్థానాల సంఖ్య సరి (వర్గం) లేదా 3 గుణిజం (ఘనం) కావాలి; మూలంలో వాటిలో సగం (లేదా మూడో వంతు) స్థానాలు ఉంటాయి: √0.0169 = 0.13.

ఉదాహరణ 1. √5,184 కనుక్కోండి. సాధన. 5,184 = 2⁶ × 3⁴. మూలం = 2³ × 3² = 8 × 9. సమాధానం: 72

ఉదాహరణ 2. ∛2,744 కనుక్కోండి. సాధన. 2,744 = 2³ × 7³. మూలం = 2 × 7. సమాధానం: 14

ఉదాహరణ 3. 1,176 ను పూర్ణ వర్గంగా చేయడానికి దేనితో గుణించాలి (కనిష్ఠ సంఖ్య)? సాధన. 1,176 = 2³ × 3 × 7². ప్రతి ఘాతాన్ని సరి చేయండి: 2 × 3 తో గుణించండి. సమాధానం: 6

వివరణ

రకం 1: పెద్ద పూర్ణ వర్గం వర్గమూలం (దీర్ఘ భాగహారం లేకుండా). చివరి రెండు అంకెలను వదిలేయండి; మిగిలిన దానికి సమానమైన లేదా దాని కంటే తక్కువైన అతి పెద్ద వర్గాన్ని కనుక్కోండి; అది ముందు భాగాన్ని ఇస్తుంది. చివరి అంకె రెండు అవకాశాలు ఇస్తుంది; n(n + 1) తో పోల్చి ఎంచుకోండి.

ఉదాహరణ 4. √119,716 కనుక్కోండి. సాధన. చివరి అంకె 6, కాబట్టి మూలం చివర 4 లేదా 6. "16" వదిలేస్తే: 1,197. 34² = 1,156 ≤ 1,197 < 35² = 1,225, కాబట్టి మూలం 34_. 34 × 35 = 1,190 < 1,197, కాబట్టి పెద్ద చివరి అంకె, 6 తీసుకోండి. సమాధానం: 346

రకం 2: సంపూర్ణ ఘనం ఘనమూలం. మార్పిడి నియమంతో చివరి అంకె; చివరి మూడు అంకెలు వదిలేసి, మిగిలిన దానికి సమానమైన లేదా తక్కువైన అతి పెద్ద ఘనాన్ని కనుక్కోండి.

ఉదాహరణ 5. ∛438,976 కనుక్కోండి. సాధన. చివర 6, కాబట్టి మూలం చివర 6. "976" వదిలేస్తే: 438. 7³ = 343 ≤ 438 < 8³ = 512. సమాధానం: 76

రకం 3: దశాంశాల మూలాలు.

ఉదాహరణ 6. √0.000441 కనుక్కోండి. సాధన. ఆరు దశాంశ స్థానాలు, కాబట్టి మూలంలో మూడు. √441 = 21, అంటే 0.021. సమాధానం: 0.021

రకం 4: అంచనా. b చిన్నదైతే √(a² + b) ≈ a + b/(2a).

ఉదాహరణ 7. √83 ను రెండు దశాంశ స్థానాల వరకు అంచనా వేయండి. (a) 9.06 (b) 9.11 (c) 9.16 (d) 9.21 సాధన. 83 = 81 + 2: 9 + 2/18 ≈ 9.11. (అసలు విలువ 9.110.) సమాధానం: (b) 9.11

ఉదాహరణ 8. √5 = 2.236 అని ఇచ్చారు, 1/√5 కనుక్కోండి. సాధన. 1/√5 = √5/5 = 2.236 ÷ 5. సమాధానం: 0.4472

భాగించే ముందు ఎప్పుడూ అకరణీకరణం చేయండి; 1 ని 2.236 తో భాగించడం నెమ్మది.

రకం 5: కలపవలసిన లేదా తీసివేయవలసిన కనిష్ఠ సంఖ్య.

ఉదాహరణ 9. (i) పూర్ణ వర్గం కావడానికి 6,000 నుంచి తీసివేయవలసిన కనిష్ఠ సంఖ్య. (ii) కలపవలసిన కనిష్ఠ సంఖ్య. సాధన. 77² = 5,929, 78² = 6,084. (i) 6,000 − 5,929 = 71. (ii) 6,084 − 6,000 = 84. సమాధానం: (i) 71 (ii) 84

రకం 6: పూర్ణ వర్గాన్ని గుర్తించడం. చివరి అంకె, తర్వాత పదుల అంకె, తర్వాత అంకెల మూలం వాడండి.

ఉదాహరణ 10. వీటిలో ఒక్కటే పూర్ణ వర్గం: (a) 6,246 (b) 6,241 (c) 6,248 (d) 6,251 సాధన. (c) చివర 8: తొలగించండి. చివర 6 ఉన్న వర్గంలో పదుల అంకె బేసి, కాబట్టి (a) కాదు. చివర 1 ఉన్న వర్గంలో పదుల అంకె సరి, కాబట్టి (d) కాదు. 79² = 6,241. సమాధానం: (b) 6,241

వేగ చిట్కాలు.

చివర 1, 4, 9 లేదా 5 ఉన్న వర్గాలకు పదుల అంకె సరి (5 కు 25); చివర 6 ఉన్న వర్గాలకు పదుల అంకె బేసి.
వర్గం యొక్క అంకెల మూలం (పదే పదే అంకెల మొత్తం) 1, 4, 7 లేదా 9.

లోతైన విశ్లేషణ

ఉదాహరణ 11. √(248 + √(52 + √144)) కనుక్కోండి. సాధన. లోపలి నుంచి: √144 = 12; √(52 + 12) = √64 = 8; √(248 + 8) = √256. సమాధానం: 16

ఉదాహరణ 12. x = √(12 + √(12 + √(12 + …))) (అనంతంగా కొనసాగుతుంది) కనుక్కోండి. సాధన. మొదటి మూలం కింద ఉన్న సమాసంలో మళ్లీ x ఉంది: x = √(12 + x), కాబట్టి x² − x − 12 = 0, (x − 4)(x + 3) = 0. x ధనాత్మకం. సమాధానం: 4

సాధారణంగా: n = k(k − 1) అయితే √(n + √(n + …)) = k: 2, 6, 12, 20, 30 లకు 2, 3, 4, 5, 6.

ఉదాహరణ 13. 1 నుంచి 1,000 వరకు ఉన్న సంఖ్యల్లో పూర్ణ వర్గాలూ కాని, సంపూర్ణ ఘనాలూ కాని సంఖ్యలు ఎన్ని? (a) 959 (b) 962 (c) 969 (d) 972 సాధన. వర్గాలు: 31 (31² = 961). ఘనాలు: 10. రెండూ (ఆరో ఘాతాలు 1, 64, 729): 3. వర్గాలు లేదా ఘనాలు = 31 + 10 − 3 = 38. 1,000 − 38. సమాధానం: (b) 962

ఉదాహరణ 14. ఒక సేనాని దగ్గర 2,000 మంది సైనికులు ఉన్నారు. సాధ్యమైనంత ఎక్కువ మందిని నిండు చతురస్రంగా నిలబెట్టాడు. ఎంత మంది మిగిలారు? సాధన. 44² = 1,936 ≤ 2,000 < 45² = 2,025. మిగిలినవారు = 2,000 − 1,936. సమాధానం: 64

ఉదాహరణ 15. ఒక సంఖ్య వర్గానికి 7 అంకెలు ఉన్నాయి. ఆ సంఖ్యకు ఎన్ని అంకెలు ఉన్నాయి? సాధన. 1,000² = 1,000,000 (7 అంకెలు), 3,162² = 9,998,244 (7 అంకెలు), కానీ 3,163² కు 8 అంకెలు. అలాంటి సంఖ్యలన్నీ 1,000 నుంచి 3,162 మధ్య ఉంటాయి. సమాధానం: 4

చివర 5 ఉన్న సంఖ్యల వర్గాలు: n5² = n(n + 1) తర్వాత 25: 65² = 4,225. (మరిన్ని MAB-NS-13 లో.)
మూలాల కింద లబ్ధం: √a × √b = √(ab): √2 × √3 = √6 ≈ 2.449.

తరచూ చేసే పొరపాట్లు

✗ "√0.0169 = 0.013." ✓ నాలుగు దశాంశ స్థానాలు మూలంలో రెండు ఇస్తాయి: 0.13.
✗ "6,246 చివర 6, కాబట్టి అది వర్గం కావచ్చు." ✓ చివర 6 ఉన్న వర్గంలో పదుల అంకె బేసి; 6,246 వర్గం కాదు.
✗ "438,976 ఘనమూలం చివర 4." ✓ ఘనాల్లో 6 అలాగే ఉంటుంది → మూలం చివర 6 (76). 2 ↔ 8, 3 ↔ 7 మాత్రమే మారతాయి.
✗ "1,000 వరకు వర్గాలు లేదా ఘనాలు = 31 + 10 = 41." ✓ రెండుసార్లు లెక్కించిన 3 ఆరో ఘాతాలను తీసివేయండి: 38.
✗ "1,176 ను వర్గం చేయడానికి 3 తో గుణించండి." ✓ 2 కు కూడా బేసి ఘాతం ఉంది (2³): 6 తో గుణించండి.

త్వరిత పునశ్చరణ

వర్గాల చివర 0, 1, 4, 5, 6, 9 మాత్రమే.
మూలం చివర: 1 → 1/9, 4 → 2/8, 9 → 3/7, 6 → 4/6, 5 → 5.
ఘనమూలాలు: 2 ↔ 8, 3 ↔ 7 పరస్పరం మారతాయి; మిగిలినవి అలాగే.
పెద్ద వర్గం: రెండు అంకెలు వదిలేసి, ముందు వర్గం కనుక్కొని, n(n + 1) తో ఎంచుకోండి.
పెద్ద ఘనం: మూడు అంకెలు వదిలేసి, ముందు ఘనం కనుక్కోండి.
√(a² + b) ≈ a + b/(2a).
వర్గం: అన్ని ఘాతాలు సరి. ఘనం: అన్నీ 3 గుణిజాలు.
చివర 6 ఉన్న వర్గాలకే పదుల అంకె బేసి.
వర్గం అంకెల మూలం: 1, 4, 7, 9.
n = k(k − 1) అయితే √(n + √(n + …)) = k.

Medha AI writes its own notes and checks them against the sources listed. Medha AI is an independent preparation service. It is not affiliated with, endorsed by or connected to APPSC, TGPSC (formerly TSPSC), MPSC, UPSC or any other commission or government body.