కరణులు, ఘాతాంకాలు: నియమాలు, అకరణీకరణం, కరణుల…

ముఖ్య వాస్తవాలు

ఘాతాంక నియమాలు (a, b > 0):
- aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ; aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ; (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
- (ab)ⁿ = aⁿbⁿ; (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
- a⁰ = 1; a⁻ⁿ = 1/aⁿ; a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ = ⁿ√(aᵐ)
aˣ = aʸ (a > 0, a ≠ 1) అయితే, x = y.
కరణి: అకరణీయ సంఖ్య యొక్క కరణీయ మూలం, ఉదా: √3 లేదా ∛5. √4 కరణి కాదు.
కరణి క్రమం: మూల సూచిక. ∛5 అనేది 3వ క్రమపు కరణి.
సజాతీయ కరణులు సూక్ష్మీకరించిన తర్వాత ఒకే కరణీయ భాగం కలిగి ఉంటాయి: √50 = 5√2 మరియు √18 = 3√2 సజాతీయ కరణులు; సజాతీయ కరణులను మాత్రమే కూడగలం.
అకరణీకరణ కారణాంకం: √a కు అది √a; (√a + √b) కు అది సంయుగ్మం (√a − √b), ఎందుకంటే (√a + √b)(√a − √b) = a − b.
వేర్వేరు క్రమాల కరణుల పోలిక: ప్రతి దానిని క్రమాల క.సా.గు. ఘాతానికి పెంచండి.

ఉదాహరణ 1. 27^(2/3) కనుక్కోండి. సాధన. (∛27)² = 3². సమాధానం: 9

ఉదాహరణ 2. 2ˣ = 1/32, అయితే x కనుక్కోండి. సాధన. 1/32 = 2⁻⁵. సమాధానం: −5

ఉదాహరణ 3. √50 + √18 − √8 ను సూక్ష్మీకరించండి. సాధన. 5√2 + 3√2 − 2√2. సమాధానం: 6√2

వివరణ

రకం 1: ఘాతీయ సమీకరణాలు. రెండు వైపులా ఒకే ఆధారంతో రాసి, ఘాతాలను సమానం చేయండి.

ఉదాహరణ 4. 9ˣ = 27^(x − 1) అయితే x కనుక్కోండి. (a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 సాధన. 3^(2x) = 3^(3x − 3), కాబట్టి 2x = 3x − 3. సమాధానం: (c) 3

ఉదాహరణ 5. 5^(x + 3) = 25^(3x − 4) అయితే x కనుక్కోండి. సాధన. 5^(x + 3) = 5^(6x − 8), కాబట్టి x + 3 = 6x − 8, 5x = 11. సమాధానం: 11/5

రకం 2: ఘాతాల సూక్ష్మీకరణ.

ఉదాహరణ 6. 16^(0.75) × 64^(−1/3) ను సూక్ష్మీకరించండి. సాధన. 16^(3/4) = 2³ = 8; 64^(−1/3) = 1/4. 8 × 1/4. సమాధానం: 2

ఉదాహరణ 7. (xᵃ/xᵇ)^(a + b) × (xᵇ/xᶜ)^(b + c) × (xᶜ/xᵃ)^(c + a) ను సూక్ష్మీకరించండి. సాధన. ఘాతాలు: (a − b)(a + b) + (b − c)(b + c) + (c − a)(c + a) = (a² − b²) + (b² − c²) + (c² − a²) = 0. x⁰ = 1. సమాధానం: 1

రకం 3: అకరణీకరణం.

ఉదాహరణ 8. 6/(√5 + √2) ను అకరణీకరించండి. సాధన. (√5 − √2) తో గుణించండి: 6(√5 − √2)/(5 − 2) = 2(√5 − √2). సమాధానం: 2√5 − 2√2

రకం 4: కరణి సమాసం యొక్క వర్గమూలం. a ± 2√b ను (√x ± √y)² గా రాయండి; ఇక్కడ x + y = a, xy = b.

ఉదాహరణ 9. √(11 − 2√30) కనుక్కోండి. సాధన. x + y = 11, xy = 30 కావాలి: x = 6, y = 5. మూలం = √6 − √5 (ధనాత్మకం, ఎందుకంటే √6 > √5). సమాధానం: √6 − √5

రకం 5: వేర్వేరు క్రమాల కరణుల పోలిక.

ఉదాహరణ 10. √3, ∛4, ⁴√6 లలో ఏది పెద్దది? సాధన. 2, 3, 4 ల క.సా.గు. 12. ప్రతి దానిని 12వ ఘాతానికి పెంచండి: 3⁶ = 729, 4⁴ = 256, 6³ = 216. సమాధానం: √3

వేగ చిట్కాలు.

ఘాతాల్లోని దశాంశాలను వెంటనే భిన్నాలుగా మార్చండి: 0.75 = 3/4, 0.2 = 1/5, 1.5 = 3/2.
రకం 4 లో లోపలి మూలం కింది సంఖ్య xy లబ్ధం; బయటి సంఖ్య x + y మొత్తం.

లోతైన విశ్లేషణ

ఉదాహరణ 11. 4ˣ − 4^(x − 1) = 24, అయితే x కనుక్కోండి. (a) 3/2 (b) 2 (c) 5/2 (d) 3 సాధన. 4^(x − 1) ను ఉమ్మడి కారణాంకంగా తీయండి: 4^(x − 1)(4 − 1) = 24, కాబట్టి 4^(x − 1) = 8. 2^(2x − 2) = 2³, కాబట్టి 2x − 2 = 3. సమాధానం: (c) 5/2

ఉదాహరణ 12. 2ᵃ = 3ᵇ = 6ᶜ అయితే, c ని a, b లలో వ్యక్తపరచండి. సాధన. ఉమ్మడి విలువ k అనుకోండి. అప్పుడు 2 = k^(1/a), 3 = k^(1/b), 6 = k^(1/c). 2 × 3 = 6 కాబట్టి: 1/a + 1/b = 1/c. సమాధానం: c = ab/(a + b)

ఉదాహరణ 13. (√5 + √3)/(√5 − √3) + (√5 − √3)/(√5 + √3) కనుక్కోండి. సాధన. మొదటి పదం అకరణీకరిస్తే (8 + 2√15)/2 = 4 + √15, రెండోది 4 − √15. కరణులు రద్దవుతాయి. సమాధానం: 8

ఉదాహరణ 14. √7 + √3 లేదా √6 + 2 లలో ఏది పెద్దది? సాధన. రెండూ ధనాత్మకం; వర్గాలను పోల్చండి. (√7 + √3)² = 10 + 2√21; (√6 + √4)² = 10 + 2√24. √24 > √21. సమాధానం: √6 + 2

నియమం: మొత్తాలు సమానమైనప్పుడు (7 + 3 = 6 + 4), భాగాలు ఒకదానికొకటి దగ్గరగా ఉన్న జత మూలాల మొత్తం పెద్దది.
రుణ, భిన్న ఘాతాలు కలిసి: (0.25)^(−3/2) = 4^(3/2) = 8; 125^(−2/3) = 1/25.
వేర్వేరు ఆధారాలు: 32^(1/5) × 81^(1/4) = 2 × 3 = 6.

తరచూ చేసే పొరపాట్లు

✗ "a⁰ = 0." ✓ సున్నా కాని ఏ a కైనా a⁰ = 1.
✗ "aᵐ × bᵐ = (ab)²ᵐ." ✓ ఇది (ab)ᵐ; ఒకే ఆధారం ఉన్నప్పుడే ఘాతాలు కలుస్తాయి.
✗ "√5 + √3 = √8." ✓ సజాతీయ కరణులను మాత్రమే కూడగలం; √5 + √3 ను సూక్ష్మీకరించలేం.
✗ "√(11 − 2√30) = √5 − √6." ✓ వర్గమూలం ధనాత్మకం: √6 − √5.
✗ "6 > 3 కాబట్టి ⁴√6 > √3." ✓ ఒకే ఘాతం వద్ద పోల్చండి: 6³ = 216 < 3⁶ = 729, కాబట్టి √3 పెద్దది.
✗ "(2³)² = 2⁹." ✓ (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ = 2⁶; 2^(3²) = 2⁹ వేరే సమాసం.

త్వరిత పునశ్చరణ

aᵐaⁿ = aᵐ⁺ⁿ; (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ; a⁻ⁿ = 1/aⁿ; a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ.
ఒకే ఆధారం, సమాన విలువలు: ఘాతాలను సమానం చేయండి.
సజాతీయ కరణులను మాత్రమే కూడగలం లేదా తీసివేయగలం.
√a + √b సంయుగ్మం √a − √b; లబ్ధం a − b.
√(a ± 2√b) = √x ± √y; ఇక్కడ x + y = a, xy = b.
కరణులను వాటి క్రమాల క.సా.గు. వద్ద పోల్చండి.
√a + √b మొత్తాలను వర్గం చేసి పోల్చండి.
2ᵃ = 3ᵇ = 6ᶜ ⇒ 1/a + 1/b = 1/c.
ఘాతాల్లో 0.75 = 3/4; 0.25 = 1/4; 1.5 = 3/2.

Medha AI writes its own notes and checks them against the sources listed. Medha AI is an independent preparation service. It is not affiliated with, endorsed by or connected to APPSC, TGPSC (formerly TSPSC), MPSC, UPSC or any other commission or government body.