ఫ్యాక్టోరియల్స్: చివరి సున్నాలు, n!లో ప్రధాన…

ముఖ్య వాస్తవాలు

n! = 1 × 2 × 3 × … × n. 0! = 1, 1! = 1.
విలువలు: 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, 7! = 5,040, 8! = 40,320, 10! = 36,28,800.
n!లో ప్రధాన సంఖ్య p యొక్క గరిష్ఠ ఘాతం (లెజెండర్ సూత్రం (Legendre's formula)): ⌊n/p⌋ + ⌊n/p²⌋ + ⌊n/p³⌋ + … (pᵏ > n అయినప్పుడు ఆపండి).
- సంక్షిప్త రూపం: nను pతో భాగించండి, వచ్చిన భాగఫలాన్ని మళ్లీ pతో భాగించండి, అన్ని భాగఫలాలనూ కూడండి.
n! చివరి సున్నాలు (trailing zeros) = n!లో 5 యొక్క గరిష్ఠ ఘాతం (n!లో 2లు ఎప్పుడూ 5ల కంటే ఎక్కువగా ఉంటాయి).
సంయుక్త భాజకం (composite divisor): దాన్ని ప్రధాన సంఖ్య ఘాతాలుగా విడదీయండి, ఒక్కోదానికి పరిమితి కనుక్కోండి, వాటిలో కనిష్ఠమైనది తీసుకోండి.
5! నుంచి ప్రతి ఫ్యాక్టోరియల్ 0తో ముగుస్తుంది; 10! నుంచి 00తో ముగుస్తుంది.

ఉదాహరణ 1. 70! చివర ఎన్ని సున్నాలు ఉంటాయి? సాధన. 70/5 = 14; 14/5 = 2 (పూర్ణాంక భాగం). 14 + 2. సమాధానం: 16

ఉదాహరణ 2. 200! చివర ఎన్ని సున్నాలు ఉంటాయి? సాధన. 200/5 = 40; 40/5 = 8; 8/5 = 1. 40 + 8 + 1. సమాధానం: 49

ఉదాహరణ 3. 10!/7! కనుక్కోండి. సాధన. 10 × 9 × 8. సమాధానం: 720

వివరణ

రకం 1: ప్రధాన సంఖ్య గరిష్ఠ ఘాతం.

ఉదాహరణ 4. 80!ను నిశ్శేషంగా భాగించే 3 యొక్క గరిష్ఠ ఘాతం. (a) 3²⁶ (b) 3³⁴ (c) 3³⁶ (d) 3⁴⁰ సాధన. 80/3 = 26; 26/3 = 8; 8/3 = 2. 26 + 8 + 2 = 36. సమాధానం: (c) 3³⁶

ఉదాహరణ 5. 100!లో 7 యొక్క గరిష్ఠ ఘాతం. సాధన. 100/7 = 14; 14/7 = 2. సమాధానం: 16

రకం 2: సంయుక్త భాజకం. ప్రతి ప్రధాన సంఖ్యనూ లెక్కించండి, భాజకంలో దాని ఘాతంతో భాగించండి, కనిష్ఠమైనది తీసుకోండి.

ఉదాహరణ 6. 30!ను నిశ్శేషంగా భాగించే 12 యొక్క గరిష్ఠ ఘాతం. సాధన. 12 = 2² × 3. 30!లో 2 ఘాతం: 15 + 7 + 3 + 1 = 26, అంటే 2² ప్రతులు ⌊26/2⌋ = 13. 3 ఘాతం: 10 + 3 + 1 = 14. చిన్నది 13. సమాధానం: 13

ఉదాహరణ 7. 75!లో 15 యొక్క గరిష్ఠ ఘాతం. సాధన. 15 = 3 × 5. 5 ఘాతం: 15 + 3 = 18. 3 ఘాతం: 25 + 8 + 2 = 35. 5లు తక్కువగా ఉన్నాయి. సమాధానం: 18

రకం 3: ఫ్యాక్టోరియల్స్ లబ్ధంలో సున్నాలు. ప్రతి ఫ్యాక్టోరియల్‌లోని సున్నాలను కూడండి (ప్రతిదానిలో 2లు సమృద్ధిగా ఉంటాయి).

ఉదాహరణ 8. 25! × 30! చివర సున్నాలు. సాధన. 25!: 5 + 1 = 6. 30!: 6 + 1 = 7. సమాధానం: 13

రకం 4: "సరిగ్గా k సున్నాలు". 25 యొక్క ప్రతి గుణిజం (రెండు 5లు), 125 (మూడు) మొదలైన చోట్ల లెక్క ఒక్కసారిగా దూకుతుంది.

ఉదాహరణ 9. n యొక్క ఎన్ని విలువలకు n! సరిగ్గా 6 సున్నాలతో ముగుస్తుంది? సరిగ్గా 5 సున్నాలు ఉన్న n! ఏదైనా ఉందా? సాధన. 24!లో 4 సున్నాలు; 25!లో 5 + 1 = 6. 25!, 26!, 27!, 28!, 29!లకు లెక్క 6గానే ఉండి, 30! వద్ద 7 అవుతుంది. 4 తర్వాత లెక్క నేరుగా 6, అంటే మధ్యలో 5 రాదు; కాబట్టి సరిగ్గా 5 సున్నాలతో ముగిసే ఫ్యాక్టోరియల్ లేదు. సమాధానం: 5 విలువలు (25 నుంచి 29); లేదు

రకం 5: ఫ్యాక్టోరియల్ మొత్తాల శేషాలు, ఒకట్ల స్థానంలోని అంకెలు. k! భాజకంతో నిశ్శేషంగా భాగించబడిన తర్వాత, ఆ తర్వాతి పదాలన్నీ వదిలేయవచ్చు.

ఉదాహరణ 10. 1! + 2! + 3! + … + 100!ను 12తో భాగించినప్పుడు శేషం. సాధన. 4! = 24. ఆ తర్వాతి ప్రతి ఫ్యాక్టోరియల్ 12తో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది. కాబట్టి 1 + 2 + 6 = 9 మాత్రమే మిగులుతుంది. సమాధానం: 9

వేగ చిట్కాలు.

చివరి సున్నాల కోసం మనసులోనే 5తో వరుసగా భాగించండి: 200 → 40 → 8 → 1.
సంయుక్త భాజకంలో సాధారణంగా అతిపెద్ద ప్రధాన సంఖ్యే తక్కువగా ఉంటుంది, అయినా సరిచూసుకోండి: 30!లో 12 = 2² × 3కు పరిమితి 2² నుంచి వస్తుంది, 3 నుంచి కాదు.

లోతైన విశ్లేషణ

ఉదాహరణ 11. n! చివర కనీసం 60 సున్నాలు ఉండే కనిష్ఠ n. (a) 245 (b) 249 (c) 250 (d) 255 సాధన. 245!, 249! రెండింటిలోనూ 49 + 9 + 1 = 59 సున్నాలు. 250 = 2 × 5³ ఒకేసారి మూడు 5లను చేరుస్తుంది: 250!లో 50 + 10 + 2 = 62. సమాధానం: (c) 250

ఉదాహరణ 12. 5⁵ × 10¹⁰ × 15¹⁵ × … × 50⁵⁰ చివర సున్నాలు. సాధన. ఇక్కడ 5లు కాదు, 2లు తక్కువగా ఉన్నాయి, కాబట్టి రెండింటినీ లెక్కించండి.

5లు: ప్రతి పదం (5k)^(5k), 5kలోని ప్రతి 5కూ 5k ఇస్తుంది. k = 1 నుంచి 10 వరకు 5kల మొత్తం 275; 25 (k = 5), 50 (k = 10) అదనంగా 25 + 50 ఇస్తాయి. మొత్తం 5లు = 350.
2లు: సరి సంఖ్య అయిన 5k మాత్రమే 2లను ఇస్తుంది: 10¹⁰ (10), 20²⁰ (40), 30³⁰ (30), 40⁴⁰ (120), 50⁵⁰ (50). మొత్తం 2లు = 250.

సమాధానం: 250

ఉదాహరణ 13. 1! + 2! + … + 10! యొక్క చివరి రెండు అంకెలు. సాధన. 10! 00తో ముగుస్తుంది. 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + 5,040 + 40,320 + 3,62,880 = 4,09,113. సమాధానం: 13

ఉదాహరణ 14. 60!లో 2 యొక్క గరిష్ఠ ఘాతం, 120!/60! చివర ఉండే సున్నాల సంఖ్య. సాధన. 60!లో 2 ఘాతం: 30 + 15 + 7 + 3 + 1 = 56. 120!లో 24 + 4 = 28 సున్నాలు, 60!లో 12 + 2 = 14, అయినా 120!/60!లో ఇప్పటికీ 5ల కంటే 2లే ఎక్కువ (116 − 56 = 60), కాబట్టి అది 28 − 14 = 14 సున్నాలతో ముగుస్తుంది. సమాధానం: 56; 14

విస్తరించి సరిచూడటం: 25! = 15,511,210,043,330,985,984,000,000 (26 అంకెలు, 6 చివరి సున్నాలు). లెజెండర్ లెక్కలను త్వరగా సరిచూడటానికి ఇది ఉపయోగపడుతుంది.
10 కాని ఇతర ఆధారాల్లో ఫ్యాక్టోరియల్స్: ఆధారం bలో n! సున్నాలు = n!లో b యొక్క గరిష్ఠ ఘాతం (సంయుక్త భాజకం పద్ధతే).

తరచూ చేసే పొరపాట్లు

✗ "200!లో సున్నాలు = 200/5 = 40." ✓ భాగించడం కొనసాగించండి: 40 + 8 + 1 = 49.
✗ "80!లో 3 ఘాతం = 80/3 = 26." ✓ 8నూ, 2నూ కూడా కూడండి: 36.
✗ "30!లో 12 గరిష్ఠ ఘాతం = 3 ఘాతం = 14." ✓ 2²లో ప్రతి ప్రతికీ రెండు 2లు కావాలి: ⌊26/2⌋ = 13, ఇదే చిన్నది.
✗ "ప్రతి పూర్ణ సంఖ్య సున్నాల లెక్కా ఏదో ఒక n!కు వస్తుంది." ✓ లెక్క 25, 50, 75, 125, … వద్ద దూకుతుంది; సరిగ్గా 5 సున్నాలతో ముగిసే n! లేదు.
✗ "ఏ లబ్ధంలోనైనా సున్నాలు = 5ల సంఖ్య." ✓ ఇది n!కు నిజం, ప్రతి లబ్ధానికీ కాదు; 2లు, 5లు రెండింటినీ లెక్కించండి.
✗ "0! = 0." ✓ 0! = 1.

త్వరిత పునశ్చరణ

n!లో ప్రధాన సంఖ్య p ఘాతం = ⌊n/p⌋ + ⌊n/p²⌋ + …
n! సున్నాలు = n!లో 5 ఘాతం.
సంయుక్త భాజకం: ప్రతి ప్రధాన సంఖ్య ఘాతానికి పరిమితి కనుక్కుని, కనిష్ఠమైనది తీసుకోండి.
0! = 1; 5! = 120; 7! = 5,040; 10! = 36,28,800.
5! నుంచి 0తో ముగుస్తుంది; 10! నుంచి 00తో ముగుస్తుంది.
24!లో 4 సున్నాలు, 25!లో 6: సరిగ్గా 5 సున్నాలు ఉన్న ఫ్యాక్టోరియల్ లేదు.
250!లో 62 సున్నాలు (249!లో 59): 125 యొక్క ప్రతి గుణిజం వద్ద లెక్క కనీసం 3 దూకుతుంది.
ఫ్యాక్టోరియల్ మొత్తాలు: భాజకంతో నిశ్శేషంగా భాగించబడే ప్రతి పదాన్నీ వదిలేయండి.
ఘాతాల లబ్ధాలు: 2లను, 5లను వేర్వేరుగా లెక్కించండి.

Medha AI writes its own notes and checks them against the sources listed. Medha AI is an independent preparation service. It is not affiliated with, endorsed by or connected to APPSC, TGPSC (formerly TSPSC), MPSC, UPSC or any other commission or government body.