కారణాంకాల లెక్కింపు: కారణాంకాల సంఖ్య, మొత్తం…

ముఖ్య వాస్తవాలు

N = pᵃ × qᵇ × rᶜ అనుకోండి (p, q, r వేర్వేరు ప్రధాన సంఖ్యలు).
కారణాంకాల సంఖ్య = (a + 1)(b + 1)(c + 1). (ప్రతి ప్రధాన సంఖ్య ఘాతాంకం 0 నుంచి a వరకు ఉండవచ్చు.)
కారణాంకాల మొత్తం = (1 + p + … + pᵃ)(1 + q + … + qᵇ)(1 + r + … + rᶜ).
కారణాంకాల లబ్ధం = N^(d/2), ఇక్కడ d = కారణాంకాల సంఖ్య.
బేసి కారణాంకాలు: 2 ఘాతాన్ని వదిలేయండి. సరి కారణాంకాలు = మొత్తం − బేసి.
పూర్ణ వర్గాలకు (వాటికి మాత్రమే) బేసి సంఖ్యలో కారణాంకాలు ఉంటాయి.
ఒక సంఖ్యకు సరిగ్గా 3 కారణాంకాలు ఉండేది అది ఒక ప్రధాన సంఖ్య వర్గమైతేనే.
పరిపూర్ణ సంఖ్య (perfect number): ఆ సంఖ్య తప్ప మిగతా కారణాంకాల మొత్తం ఆ సంఖ్యకే సమానం (6, 28, 496).
N వరకు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు (co-prime numbers) (ఆయిలర్ φ): φ(N) = N × (1 − 1/p)(1 − 1/q)(1 − 1/r).

ఉదాహరణ 1. 540కి ఎన్ని కారణాంకాలు ఉన్నాయి? సాధన. 540 = 2² × 3³ × 5. కారణాంకాలు = 3 × 4 × 2. సమాధానం: 24

ఉదాహరణ 2. 72 కారణాంకాల మొత్తం కనుక్కోండి. సాధన. 72 = 2³ × 3². మొత్తం = (1 + 2 + 4 + 8)(1 + 3 + 9) = 15 × 13. సమాధానం: 195

ఉదాహరణ 3. 196కి బేసి సంఖ్యలో కారణాంకాలు ఉన్నాయా, సరి సంఖ్యలోనా? సాధన. 196 = 14² = 2² × 7², ఇది పూర్ణ వర్గం: 3 × 3 = 9 కారణాంకాలు. సమాధానం: బేసి (9)

వివరణ

రకం 1: బేసి, సరి కారణాంకాలు.

ఉదాహరణ 4. 2,160కి ఎన్ని సరి కారణాంకాలు ఉన్నాయి? (a) 8 (b) 24 (c) 32 (d) 40 సాధన. 2,160 = 2⁴ × 3³ × 5. మొత్తం = 5 × 4 × 2 = 40. బేసి = 4 × 2 = 8. సరి = 40 − 8. సమాధానం: (c) 32

రకం 2: k యొక్క గుణిజాలైన కారణాంకాలు. k ప్రధాన సంఖ్యలను కారణాంకంలో తప్పనిసరిగా ఉంచి, మిగిలిన ఎంపికలను లెక్కించండి.

ఉదాహరణ 5. 1,080 కారణాంకాల్లో ఎన్ని 6తో నిశ్శేషంగా భాగించబడతాయి? సాధన. 1,080 = 2³ × 3³ × 5. 6తో నిశ్శేషంగా భాగించబడే కారణాంకానికి 2 ఘాతం 1–3 (3 ఎంపికలు), 3 ఘాతం 1–3 (3 ఎంపికలు), 5 ఘాతం 0–1 (2 ఎంపికలు) కావాలి. 3 × 3 × 2. సమాధానం: 18

సంక్షిప్త మార్గం: kతో నిశ్శేషంగా భాగించబడే N కారణాంకాలు = N/k కారణాంకాలు (ఇక్కడ 1,080/6 = 180 = 2² × 3² × 5 → 18).

రకం 3: పూర్ణ వర్గాలైన కారణాంకాలు. సరి ఘాతాంకాలను మాత్రమే అనుమతించండి.

ఉదాహరణ 6. 3,600 కారణాంకాల్లో ఎన్ని పూర్ణ వర్గాలు? సాధన. 3,600 = 2⁴ × 3² × 5². సరి ఘాతాంకాలు: 2 → {0, 2, 4} = 3; 3 → {0, 2} = 2; 5 → {0, 2} = 2. 3 × 2 × 2. సమాధానం: 12

రకం 4: కారణాంకాల లబ్ధం.

ఉదాహరణ 7. 36 యొక్క అన్ని కారణాంకాల లబ్ధం కనుక్కోండి. సాధన. 36కి 9 కారణాంకాలు. లబ్ధం = 36^(9/2) = 6⁹. సమాధానం: 6⁹

రకం 5: N ను రెండు కారణాంకాల లబ్ధంగా రాసే మార్గాలు. క్రమం లేని జతలు = పూర్ణ వర్గం కానిదానికి d/2; పూర్ణ వర్గానికి (d + 1)/2 (k × k ను ఒకసారే లెక్కిస్తూ).

ఉదాహరణ 8. 420ని రెండు సహజ సంఖ్యల లబ్ధంగా ఎన్ని రకాలుగా రాయవచ్చు (క్రమం లెక్కలోకి రాదు)? 144ని? సాధన. 420 = 2² × 3 × 5 × 7కి 24 కారణాంకాలు → 12 జతలు. 144 = 2⁴ × 3²కి 15 కారణాంకాలు → (15 + 1)/2 = 8. సమాధానం: 12; 8

రకం 6: పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యల లెక్క.

ఉదాహరణ 9. 1 నుంచి 60 వరకు ఉన్న సంఖ్యల్లో ఎన్ని 60కి పరస్పర ప్రధానాలు? సాధన. 60 = 2² × 3 × 5. φ = 60 × 1/2 × 2/3 × 4/5. సమాధానం: 16

ఉదాహరణ 10. 360 బేసి కారణాంకాల మొత్తం. సాధన. 360 బేసి భాగం = 3² × 5. మొత్తం = (1 + 3 + 9)(1 + 5) = 13 × 6. సమాధానం: 78

వేగ చిట్కాలు.

సూత్రం వాడే ముందు ఎప్పుడూ పూర్తిగా ప్రధాన కారణాంకాలుగా విడదీయండి; 3,600 అంటే 2⁴ × 3² × 5², 36 × 100 కాదు.
"kతో నిశ్శేషంగా భాగించబడే" వాటికి N/k సంక్షిప్త మార్గం వాడండి; "kతో భాగించబడని" వాటికి మొత్తం నుంచి తీసివేయండి.

లోతైన విశ్లేషణ

ఉదాహరణ 11. సరిగ్గా 12 కారణాంకాలు ఉన్న అతి చిన్న సహజ సంఖ్య. (a) 48 (b) 60 (c) 72 (d) 96 సాధన. 12 = 12, 6 × 2, 4 × 3 లేదా 3 × 2 × 2, వీటి నుంచి ఘాతాంకాల నమూనాలు 11; 5,1; 3,2; 2,1,1. అతిపెద్ద ఘాతాంకాన్ని అతి చిన్న ప్రధాన సంఖ్యకు ఇవ్వండి: 2¹¹ = 2,048; 2⁵ × 3 = 96; 2³ × 3² = 72; 2² × 3 × 5 = 60. సమాధానం: (b) 60

ఉదాహరణ 12. 1 నుంచి 100 వరకు ఉన్న సంఖ్యల్లో ఎన్నింటికి సరిగ్గా మూడు కారణాంకాలు ఉంటాయి? సాధన. అవి ప్రధాన సంఖ్యల వర్గాలు: 2², 3², 5², 7² (11² = 121 చాలా పెద్దది). సమాధానం: 4

ఉదాహరణ 13. కేస్‌లెట్ (caselet). 1 నుంచి 100, ఇలా వరుస సంఖ్యలు వేసిన 100 బల్బులు అన్నీ ఆఫ్‌లో ఉన్నాయి. k = 1 నుంచి 100 వరకు, k వ వ్యక్తి తన సంఖ్య k యొక్క గుణిజమైన ప్రతి బల్బు స్థితిని మారుస్తాడు (ఆన్ ↔ ఆఫ్). చివరికి ఎన్ని బల్బులు ఆన్‌లో ఉంటాయి? సాధన. బల్బు n స్థితి n యొక్క ప్రతి కారణాంకానికి ఒకసారి మారుతుంది. దానికి బేసి సంఖ్యలో కారణాంకాలు ఉంటేనే, అంటే n పూర్ణ వర్గమైతేనే, అది చివరికి ఆన్‌లో ఉంటుంది: 1, 4, …, 100. సమాధానం: 10

ఉదాహరణ 14. 60 కంటే తక్కువ ఉండి 60కి పరస్పర ప్రధానాలైన అన్ని సంఖ్యల మొత్తం కనుక్కోండి. సాధన. పరస్పర ప్రధానాలు k, 60 − k జతలుగా వస్తాయి; ప్రతి జత మొత్తం 60. అవి φ(60) = 16 ఉన్నాయి, కాబట్టి 8 జతలు. సమాధానం: 480

సాధారణంగా: N కంటే తక్కువ ఉండి N కి పరస్పర ప్రధానాలైన సంఖ్యల మొత్తం = N × φ(N)/2 (N > 2).

ఉదాహరణ 15. 1,800 కారణాంకాల్లో ఎన్ని 10 యొక్క గుణిజాలు అయి, 20 యొక్క గుణిజాలు కావు? సాధన. 1,800 = 2³ × 3² × 5². 10 గుణిజాలు: 1,800/10 = 180 = 2² × 3² × 5 → 18. 20 గుణిజాలు: 1,800/20 = 90 = 2 × 3² × 5 → 12. 18 − 12. సమాధానం: 6

తరచూ చేసే పొరపాట్లు

✗ "2⁴ × 3³ × 5 కారణాంకాలు = 4 × 3 × 1 = 12." ✓ ప్రతి ఘాతాంకానికీ 1 కలపండి: 5 × 4 × 2 = 40.
✗ "సరి కారణాంకాలు = మొత్తంలో సగం." ✓ సరి = మొత్తం − బేసి: సంఖ్య 2,160, సరి = 40 − 8 = 32.
✗ "144ని రెండు సంఖ్యల లబ్ధంగా రాసే మార్గాలు = 15/2." ✓ పూర్ణ వర్గానికి ముందు 1 కలపండి: (15 + 1)/2 = 8.
✗ "12 కారణాంకాలు ఉన్న అతి చిన్న సంఖ్య 2¹¹ లేదా 72." ✓ ప్రతి ఘాతాంక నమూనానూ ప్రయత్నించండి: 60 = 2² × 3 × 5.
✗ "సరిగ్గా 3 కారణాంకాలు ఉన్న సంఖ్య ఏ పూర్ణ వర్గమైనా కావచ్చు." ✓ అది ప్రధాన సంఖ్య వర్గం కావాలి (36కి 9 కారణాంకాలు).

త్వరిత పునశ్చరణ

N = pᵃqᵇrᶜ: కారణాంకాలు (a+1)(b+1)(c+1).
కారణాంకాల మొత్తం: (1 + p + … + pᵃ)ల లబ్ధం.
కారణాంకాల లబ్ధం: N^(d/2).
బేసి కారణాంకాలు: 2లను వదిలేయండి; సరి = మొత్తం − బేసి.
kతో నిశ్శేషంగా భాగించబడే కారణాంకాలు = N/k కారణాంకాలు.
వర్గ కారణాంకాలు: సరి ఘాతాంకాలు మాత్రమే.
బేసి సంఖ్యలో కారణాంకాలు ⇔ పూర్ణ వర్గం.
సరిగ్గా 3 కారణాంకాలు ⇔ ప్రధాన సంఖ్య వర్గం.
φ(N) = N(1 − 1/p)(1 − 1/q)…; N కంటే తక్కువ పరస్పర ప్రధానాల మొత్తం = Nφ(N)/2.
d కారణాంకాలు ఉన్న అతి చిన్న సంఖ్య: అతిపెద్ద ఘాతాంకం అతి చిన్న ప్రధాన సంఖ్యకు; అన్ని నమూనాలూ ప్రయత్నించండి.

Medha AI writes its own notes and checks them against the sources listed. Medha AI is an independent preparation service. It is not affiliated with, endorsed by or connected to APPSC, TGPSC (formerly TSPSC), MPSC, UPSC or any other commission or government body.