శేష సిద్ధాంతాలు: చక్రీయత, ఫెర్మా, విల్సన్, రుణ…

ముఖ్య వాస్తవాలు

భాగహారం: విభాజ్యం = భాజకం × భాగఫలం + శేషం; ఇక్కడ 0 ≤ శేషం < భాజకం.
మొత్తం, లబ్ధం నియమాలు: మొత్తం (లేదా లబ్ధం) యొక్క శేషం = శేషాల మొత్తం (లేదా లబ్ధం) యొక్క శేషం.
రుణ శేషం (negative remainder): భాజకం కంటే కొంచెం తక్కువ ఉన్న సంఖ్యను రుణంగా వాడవచ్చు: 100 పై 98 అంటే −2. భాజకాన్ని కలిపి మళ్లీ ధన శేషంగా మార్చండి.
చక్రీయత (cyclicity): aⁿ ఘాతాలను mతో భాగిస్తే వచ్చే శేషాలు మళ్లీ మళ్లీ పునరావృతమవుతాయి; శేషం 1 ఇచ్చే మొదటి ఘాతాన్ని కనుక్కోండి.
ఫెర్మా చిన్న సిద్ధాంతం (Fermat's little theorem): p ప్రధాన సంఖ్య, a ను p భాగించకపోతే, a^(p − 1) ను pతో భాగిస్తే శేషం 1.
విల్సన్ సిద్ధాంతం (Wilson's theorem): p ప్రధాన సంఖ్య అయితే, (p − 1)! ను pతో భాగిస్తే శేషం p − 1 (అంటే −1).
ఆయిలర్ సిద్ధాంతం (Euler's theorem) (ఏ m కైనా): a, m పరస్పర ప్రధానాలైతే, a^φ(m) ను mతో భాగిస్తే శేషం 1 (φ MAB-NS-10లో ఉన్నట్లే).
బీజగణితం: aⁿ − bⁿ, a − bతో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది; n సరి సంఖ్య అయితే a + bతో కూడా. n బేసి సంఖ్య అయితే aⁿ + bⁿ, a + bతో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది.

ఉదాహరణ 1. 47 × 53 × 61 ను 9తో భాగిస్తే శేషం. సాధన. శేషాలు 2, 8, 7. 2 × 8 × 7 = 112, దీని శేషం 4. సమాధానం: 4

ఉదాహరణ 2. 98 × 99 ను 100తో భాగిస్తే శేషం. సాధన. (−2) × (−1) = 2. సమాధానం: 2

ఉదాహరణ 3. 2¹⁰⁰ ను 7తో భాగిస్తే శేషం. సాధన. 2³ = 8 శేషం 1 ఇస్తుంది. 2¹⁰⁰ = (2³)³³ × 2. సమాధానం: 2

వివరణ

రకం 1: ప్రధాన భాజకానికి ఫెర్మా.

ఉదాహరణ 4. 5⁶² ను 13తో భాగిస్తే శేషం. (a) 1 (b) 5 (c) 12 (d) 8 సాధన. 13 ప్రధాన సంఖ్య, కాబట్టి 5¹² శేషం 1. 62 = 12 × 5 + 2, కాబట్టి శేషం 5² = 25 శేషమే, అంటే 12. సమాధానం: (c) 12

ఇంకా వేగంగా: 5² = 25 శేషం −1, కాబట్టి 5⁴ శేషం 1; 5⁶² = (5⁴)¹⁵ × 5² → −1, అంటే 12.

ఉదాహరణ 5. 3²⁰⁰ ను 11తో భాగిస్తే శేషం. సాధన. ఫెర్మా: 3¹⁰ శేషం 1 (నిజానికి 3⁵ = 243 = 22 × 11 + 1 కే శేషం 1 వస్తుంది). 200 అనేది 5 యొక్క గుణిజం. సమాధానం: 1

రకం 2: ఫ్యాక్టోరియల్స్‌కు విల్సన్.

ఉదాహరణ 6. (i) 22! ను, (ii) 21! ను 23తో భాగిస్తే శేషాలు. సాధన. (i) 23 ప్రధాన సంఖ్య, కాబట్టి 22! శేషం −1, అంటే 22. (ii) 22! = 22 × 21!, 22 శేషం −1. కాబట్టి (−1) × (21!) శేషం −1, అంటే 21! శేషం 1. సమాధానం: (i) 22 (ii) 1

రకం 3: పెద్ద ఘాతాలతో రుణ శేషాలు.

ఉదాహరణ 7. 2²⁰³ ను 17తో భాగిస్తే శేషం. సాధన. 2⁴ = 16 శేషం −1, కాబట్టి 2⁸ శేషం 1. 203 = 8 × 25 + 3, కాబట్టి శేషం 2³ శేషమే. సమాధానం: 8

ఉదాహరణ 8. 29³⁶ − 1 ను వీటిలో ఏది నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది: 28, 30, రెండూ, లేదా ఏదీ కాదు? సాధన. aⁿ − 1 ఎప్పుడూ a − 1 = 28తో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది; 36 సరి సంఖ్య కాబట్టి a + 1 = 30తో కూడా. సమాధానం: రెండూ

రకం 4: పూర్ణాంకాలను వరుసగా రాసి ఏర్పడిన సంఖ్యలు. 3, 9 లకు అంకెల మొత్తాన్ని; 2, 4, 8 లకు చివరి అంకెలను వాడండి.

ఉదాహరణ 9. N = 123456789101112…3940 (1 నుంచి 40 వరకు వరుసగా రాసినది). N ను 9తో, 8తో భాగిస్తే శేషాలు కనుక్కోండి. సాధన. అంకెల మొత్తానికి 9 పై వచ్చే శేషం, 1 + 2 + … + 40 = 820 కు వచ్చే శేషంతో సమానం; 820 శేషం 1. 8 కోసం చివరి మూడు అంకెలు 940 తీసుకోండి; దాని శేషం 4. సమాధానం: 1, 4

రకం 5: భాగహార లెక్క సంబంధాలు.

ఉదాహరణ 10. ఒక భాగహార లెక్కలో భాజకం భాగఫలానికి 12 రెట్లు, శేషానికి 4 రెట్లు. శేషం 18. విభాజ్యం కనుక్కోండి. సాధన. భాజకం = 4 × 18 = 72; భాగఫలం = 72 ÷ 12 = 6. విభాజ్యం = 72 × 6 + 18. సమాధానం: 450

వేగ చిట్కాలు.

భాజకం కంటే 1 ఎక్కువ లేదా 1 తక్కువ ఉన్న ఆధార సంఖ్య కోసం చూడండి: 36 పై 37 శేషం 1, 36 పై 35 శేషం −1.
aⁿ + bⁿ లేదా aⁿ − bⁿ లో a + b లేదా a − b భాజకానికి సమానమైతే, ఏ లెక్కా లేకుండానే శేషం 0.

లోతైన విశ్లేషణ

ఉదాహరణ 11. 7²⁰²⁷ యొక్క చివరి రెండు అంకెలు. (a) 07 (b) 43 (c) 49 (d) 01 సాధన. 7⁴ = 2,401 ను 100తో భాగిస్తే శేషం 1. 2027 = 4 × 506 + 3, కాబట్టి చివరి రెండు అంకెలు 7³ = 343 వే. సమాధానం: (b) 43

ఉదాహరణ 12. 17²³ + 23²³ ను 40తో భాగిస్తే శేషం. సాధన. ఘాతం బేసి, 17 + 23 = 40, కాబట్టి ఈ మొత్తం 40తో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది. సమాధానం: 0

ఉదాహరణ 13. 3⁵⁰ ను 35తో భాగిస్తే శేషం. సాధన. 35 = 5 × 7 గా విడదీయండి. 5 పై: 3⁴ శేషం 1, కాబట్టి 3⁵⁰ శేషం 3² = 9 → 4. 7 పై: 3⁶ శేషం 1, కాబట్టి 3⁵⁰ శేషం 3² → 2. 35 కంటే తక్కువ ఉండి, 5 పై శేషం 4 ఇచ్చి, 7 పై శేషం 2 ఇచ్చే సంఖ్య: 9. సమాధానం: 9

సంక్షిప్త మార్గం: రెండు చక్ర పొడవులూ (4, 6) 12ను భాగిస్తాయి, కాబట్టి 3¹² ను 35తో భాగిస్తే శేషం 1; 3⁵⁰ = (3¹²)⁴ × 3² → 9.

ఉదాహరణ 14. 7⁵⁰ ను 20తో భాగిస్తే శేషం. సాధన. 7, 20 పరస్పర ప్రధానాలు; 7⁴ = 2,401 ను 20తో భాగిస్తే శేషం 1. 7⁵⁰ = (7⁴)¹² × 7² → 49 → 9. సమాధానం: 9

ఉదాహరణ 15. 10¹ + 10² + … + 10¹⁰⁰ ను 6తో భాగిస్తే శేషం. సాధన. 10 యొక్క ప్రతి ఘాతం 6 పై శేషం 4 ఇస్తుంది. 100 పదాలు కలిపి ఇచ్చేది 400, 400 శేషం 4. సమాధానం: 4

నిర్దిష్ట పొడవు గల వరుస సంఖ్యలు: కొన్ని ప్రశ్నలు అంకెల సంఖ్యను నిర్దేశిస్తాయి (ఉదాహరణకు, "1, 2, 3, … వరుసగా రాసి ఏర్పడిన 99 అంకెల సంఖ్య"). ముందుగా చివరగా రాసిన పూర్ణాంకాన్ని కనుక్కోండి (MAB-NS-14 ఎలాగో చూపుతుంది), తర్వాత రకం 4 వర్తింపజేయండి.

తరచూ చేసే పొరపాట్లు

✗ "98 × 99 ను 100తో భాగిస్తే శేషం −2 × −1 = −2." ✓ (−2)(−1) = +2.
✗ "ఫెర్మా ఏ భాజకానికైనా వర్తిస్తుంది: 9 పై 2⁸ శేషం 1." ✓ ఫెర్మాకు ప్రధాన సంఖ్య కావాలి; భాజకం 9, దానిపై 2⁶ శేషం 1 (ఆయిలర్, φ(9) = 6), 2⁸ శేషం 4.
✗ "విల్సన్ ప్రకారం 23 పై 21! శేషం 22." ✓ విల్సన్ ఇచ్చేది 22! → 22; తర్వాత 21! → 1.
✗ "17²³ + 23²³ ను 40తో భాగించడానికి ఘాతాలు లెక్కించాలి." ✓ బేసి ఘాతం, 17 + 23 = 40: శేషం 0.
✗ "రుణ శేషమే తుది సమాధానం." ✓ భాజకాన్ని కలపండి: 13 పై −1 అంటే 12.

త్వరిత పునశ్చరణ

మొత్తం/లబ్ధం శేషం = శేషాల మొత్తం/లబ్ధం.
భాజకం కంటే కొంచెం తక్కువ ఉన్న సంఖ్యలకు రుణ శేషాలు వాడండి.
ఫెర్మా: ప్రధాన సంఖ్య p పై a^(p−1) → 1 (p ∤ a).
విల్సన్: ప్రధాన సంఖ్య p పై (p − 1)! → p − 1; (p − 2)! → 1.
ఆయిలర్: పరస్పర ప్రధానాలు a, m అయితే m పై a^φ(m) → 1.
aⁿ − bⁿ ÷ (a − b) ఎప్పుడూ; ÷ (a + b) n సరి అయితే.
aⁿ + bⁿ ÷ (a + b) n బేసి అయితే.
చివరి రెండు అంకెలు = 100 పై శేషం; 7⁴ = 2,401.
సంయుక్త భాజకాన్ని పరస్పర ప్రధాన భాగాలుగా విడదీసి, ఫలితాలను కలపండి.
వరుస సంఖ్యలు: 3, 9 లకు అంకెల మొత్తం; 2, 4, 8 లకు చివరి అంకెలు.

Medha AI writes its own notes and checks them against the sources listed. Medha AI is an independent preparation service. It is not affiliated with, endorsed by or connected to APPSC, TGPSC (formerly TSPSC), MPSC, UPSC or any other commission or government body.