సంఖ్యలపై సమస్యలు: మాటల్లోని ప్రకటనలను…

ముఖ్య వాస్తవాలు

అనువాద పట్టిక:

మాటలు	గుర్తులు
ఒక సంఖ్యను 7 పెంచితే / y కంటే 7 ఎక్కువ	x + 7 / x = y + 7
ఒక సంఖ్యలో 3/5 వంతు	(3/5)x
రెండు సంఖ్యల భేదం 6	x − y = 6
ఒక సంఖ్య వ్యుత్క్రమం	1/x
మూడు వరుస సంఖ్యలు	x − 1, x, x + 1

మొత్తం S, భేదం D: పెద్దది = (S + D)/2, చిన్నది = (S − D)/2.
మొత్తం S, లబ్ధం P: (x − y)² = S² − 4P; x² + y² = S² − 2P.
మూడు వరుస సంఖ్యలకు మధ్య సంఖ్యను x గా తీసుకోండి: మొత్తం 3x, వర్గాల మొత్తం 3x² + 2.
భిన్నాలు: భిన్నాన్ని n/d అనండి; ప్రతి షరతు ఒక సమీకరణాన్ని ఇస్తుంది.
విభాజ్యం = భాజకం × భాగఫలం + శేషం.

ఉదాహరణ 1. ఒక సంఖ్యకు దానిలో 3/5 వంతును కలిపితే 64 వస్తుంది. ఆ సంఖ్య కనుక్కోండి. సాధన. (8/5)x = 64. సమాధానం: 40

ఉదాహరణ 2. రెండు సంఖ్యల మొత్తం 50 కాగా భేదం 14. వాటిని కనుక్కోండి. సాధన. (50 + 14)/2 = 32, (50 − 14)/2 = 18. సమాధానం: 32, 18

ఉదాహరణ 3. ఒక సంఖ్యకు, దానిలో ఐదింట రెండు వంతులకు మధ్య భేదం 36. ఆ సంఖ్య కనుక్కోండి. సాధన. (3/5)x = 36. సమాధానం: 60

వివరణ

రకం 1: మొత్తం, లబ్ధం ఇచ్చినప్పుడు. ఒక్కో సంఖ్యను కనుక్కునే బదులు సర్వసమీకరణాలు వాడండి.

ఉదాహరణ 4. రెండు సంఖ్యల మొత్తం 17 కాగా లబ్ధం 72. (i) వాటి భేదం, (ii) వాటి వర్గాల మొత్తం కనుక్కోండి. (a) 1, 145 (b) 1, 217 (c) 3, 145 (d) 7, 217 సాధన. (x − y)² = 289 − 288 = 1, కాబట్టి భేదం 1. x² + y² = 289 − 144 = 145. (సంఖ్యలు 8, 9.) సమాధానం: (a) 1, 145

రకం 2: సంఖ్య, దాని వ్యుత్క్రమం.

ఉదాహరణ 5. ఒక సంఖ్యకు దాని వ్యుత్క్రమాన్ని కలిపితే 26/5. ఆ సంఖ్య కనుక్కోండి. సాధన. x + 1/x = 5 + 1/5, కాబట్టి x = 5 లేదా 1/5. సమాధానం: 5 లేదా 1/5

రకం 3: భిన్నాలపై సమస్యలు.

ఉదాహరణ 6. ఒక భిన్నం లవం, హారం రెండింటికీ 1 కలిపితే అది 2/3 అవుతుంది. రెండింటి నుంచీ 1 తీసివేస్తే 1/2 అవుతుంది. ఆ భిన్నం కనుక్కోండి. సాధన. 3(n + 1) = 2(d + 1), 2(n − 1) = d − 1. రెండో దాని నుంచి d = 2n − 1; ప్రతిక్షేపిస్తే: 3n + 3 = 4n, కాబట్టి n = 3, d = 5. సరిచూడండి: 4/6 = 2/3, 2/4 = 1/2. సమాధానం: 3/5

రకం 4: తప్పు గణన. (సరైన ఫలితం) − (తప్పు ఫలితం) = ఇచ్చిన తేడా అని రాయండి.

ఉదాహరణ 7. ఒక విద్యార్థి ఒక సంఖ్యను 5/3 కు బదులు 3/5 తో గుణించి, సరైన సమాధానం కంటే 32 తక్కువ పొందాడు. ఆ సంఖ్య కనుక్కోండి. సాధన. (5/3 − 3/5)x = (16/15)x = 32. సమాధానం: 30

రకం 5: వరుస సంఖ్యలు.

ఉదాహరణ 8. మూడు వరుస సహజ సంఖ్యల వర్గాల మొత్తం 434. ఆ సంఖ్యలు కనుక్కోండి. సాధన. మధ్య సంఖ్య x అయితే: 3x² + 2 = 434, కాబట్టి x² = 144, x = 12. సమాధానం: 11, 12, 13

రకం 6: ఒక సంఖ్యను భాగాలుగా విభజించడం.

ఉదాహరణ 9. 75ని రెండు భాగాలుగా విభజించండి: మొదటి భాగంలో మూడో వంతు, రెండో భాగంలో ఐదో వంతు కలిపితే 19 రావాలి. సాధన. x/3 + (75 − x)/5 = 19. 15తో గుణిస్తే: 5x + 225 − 3x = 285, కాబట్టి x = 30. సమాధానం: 30, 45

రకం 7: భాగఫలం, శేషం ప్రకటనలు.

ఉదాహరణ 10. రెండు సంఖ్యల్లో పెద్దదాని మూడు రెట్లను చిన్నదానితో భాగిస్తే భాగఫలం 5 కాగా శేషం 4. ఆ సంఖ్యల భేదం 26. వాటిని కనుక్కోండి. సాధన. 3L = 5S + 4, L = S + 26. కాబట్టి 3S + 78 = 5S + 4, S = 37, L = 63. సరిచూడండి: 189 = 5 × 37 + 4. సమాధానం: 63, 37

వేగ చిట్కాలు.

బహుళైచ్ఛిక ప్రశ్నల్లో ఏ సమీకరణం రాయకముందే, సరిచూడటానికి అతి సులభమైన షరతులో (తరచూ మొత్తం లేదా భేదం) ఆప్షన్లను పరీక్షించండి.
హారాల కనిష్ఠ సామాన్య గుణిజం (క.సా.గు., LCM) తో మొత్తం సమీకరణాన్ని గుణించి భిన్నాలను వెంటనే తొలగించండి.

లోతైన విశ్లేషణ

ఉదాహరణ 11. రెండు సంఖ్యల లబ్ధం 120 కాగా వాటి వర్గాల మొత్తం 289. ఆ సంఖ్యలు కనుక్కోండి. (a) 8, 15 (b) 10, 12 (c) 6, 20 (d) 5, 24 సాధన. (x + y)² = 289 + 240 = 529, కాబట్టి x + y = 23. (x − y)² = 289 − 240 = 49, కాబట్టి x − y = 7. సమాధానం: (a) 8, 15

ఉదాహరణ 12. రెండు సంఖ్యల మొత్తం, భేదం, లబ్ధం 7 : 1 : 60 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి. ఆ సంఖ్యలు కనుక్కోండి. సాధన. x + y = 7k, x − y = k అనుకోండి: x = 4k, y = 3k. లబ్ధం 12k² = 60k, కాబట్టి k = 5. సమాధానం: 20, 15

ఉదాహరణ 13. కేస్‌లెట్ (caselet). మూడు సంఖ్యల్లో రెండోది మొదటిదానికి రెట్టింపు, మూడోది రెండోదానికి మూడు రెట్లు. వాటి మొత్తం 108. (i) అతిపెద్దది కనుక్కోండి. (ii) మొదటి రెండింటి సగటు కనుక్కోండి. సాధన. x + 2x + 6x = 9x = 108, కాబట్టి x = 12; సంఖ్యలు 12, 24, 72. (i) 72. (ii) (12 + 24)/2 = 18. సమాధానం: (i) 72 (ii) 18

ఉదాహరణ 14. ఒక సంఖ్య, దాని వర్గం మొత్తం 182. ఆ (ధన) సంఖ్య కనుక్కోండి. సాధన. x² + x − 182 = 0 = (x + 14)(x − 13). సమాధానం: 13

సంక్షిప్త మార్గం: x(x + 1) = 182 అనేది వరుస సంఖ్యల లబ్ధం: 13 × 14.

ఉదాహరణ 15. A 1 నుంచి 41 వరకు లెక్కిస్తుండగా, B అదే వేగంతో 41 నుంచి 1 వరకు వెనక్కి లెక్కిస్తున్నాడు; ఇద్దరూ ఒకేసారి మొదలుపెట్టారు. A 15 అన్నప్పుడు B ఏమంటాడు? సాధన. ప్రతి క్షణంలో ఇద్దరి సంఖ్యల మొత్తం 41 + 1 = 42. 42 − 15. సమాధానం: 27

"ఒక సంఖ్యను ఊహించుకోండి" చిక్కుప్రశ్నలు: దశలను బీజగణితంగా రాయండి. రెట్టింపు చేయండి, 15 కలపండి, 3తో గుణించండి, 45 తీసివేయండి, 6తో భాగించండి: ((2x + 15) × 3 − 45)/6 = x. ఈ ట్రిక్ ఎప్పుడూ మొదలుపెట్టిన సంఖ్యనే తిరిగి ఇస్తుంది.

తరచూ చేసే పొరపాట్లు

✗ "మూడు వరుస సంఖ్యలు: x, x + 1, x + 2, కాబట్టి వర్గాల మొత్తం చిక్కుగా వస్తుంది." ✓ మధ్య సంఖ్యను x గా తీసుకోండి: వర్గాల మొత్తం = 3x² + 2.
✗ "x + 1/x = 26/5 నుంచి x = 5 మాత్రమే." ✓ వ్యుత్క్రమం 1/5 కూడా సరిపోతుంది; ఆప్షన్లలో రెండింటినీ చూడండి.
✗ "5/3 కు బదులు 3/5 తో గుణించారు: తేడా = (5/3 − 3/5) × 32." ✓ తేడా (16/15)x కు సమానం, కాబట్టి x = 32 × 15/16 = 30.
✗ "మొత్తం 17, లబ్ధం 72: వర్గాల మొత్తం = 17² − 72." ✓ 2P తీసివేయండి: 289 − 144 = 145.
✗ "B చెప్పేది 41 − 15 = 26." ✓ ఇద్దరి సంఖ్యల మొత్తం 41 + 1: B చెప్పేది 27.

త్వరిత పునశ్చరణ

ముందు తెలియని రాశికి పేరు పెట్టండి; ఒక షరతు, ఒక సమీకరణం.
పెద్దది = (S + D)/2; చిన్నది = (S − D)/2.
(x − y)² = S² − 4P; x² + y² = S² − 2P.
మూడు వరుస సంఖ్యల్లో మధ్యది x; వర్గాల మొత్తం 3x² + 2.
భిన్నం n/d: రెండు షరతులు, రెండు సమీకరణాలు.
తప్పు గణన: సరైనది − తప్పు = తేడా.
మొత్తం : భేదం నిష్పత్తి సంఖ్యలను k యొక్క గుణిజాలుగా ఇస్తుంది.
రెండు వైపుల లెక్కింపు: ఇద్దరి సంఖ్యల మొత్తం = (చివరి + మొదటి).
ప్రశ్నలోని ప్రతి షరతులోనూ సమాధానాన్ని సరిచూడండి.

Medha AI writes its own notes and checks them against the sources listed. Medha AI is an independent preparation service. It is not affiliated with, endorsed by or connected to APPSC, TGPSC (formerly TSPSC), MPSC, UPSC or any other commission or government body.