సంఖ్యా విధానాలు: బైనరీ, ఆక్టల్, హెక్సాడెసిమల్…

ముఖ్య వాస్తవాలు

ఆధారం (రాడిక్స్) = విభిన్న అంకెల (digits) సంఖ్య. అంకెలు 0 నుంచి ఆధారం − 1 వరకు ఉంటాయి.

విధానం	ఆధారం	అంకెలు	ఉదాహరణ
బైనరీ	2	0, 1	101101₂
ఆక్టల్	8	0 నుంచి 7	55₈
దశాంశం (decimal)	10	0 నుంచి 9	45₁₀
హెక్సాడెసిమల్	16	0 నుంచి 9, A నుంచి F	2D₁₆

హెక్స్ అక్షరాలు: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15.
స్థాన విలువ (positional value): ప్రతి స్థానం ఆధారం యొక్క ఒక ఘాతం. బైనరీలో కుడి నుంచి: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ...; బిందువు తర్వాత: ½, ¼, ⅛, ...
ఏ ఆధారం → దశాంశం: ప్రతి అంకెను దాని స్థాన విలువతో గుణించి కలపండి.
దశాంశం (పూర్ణ భాగం) → ఆధారం b: b తో పదే పదే భాగించండి; శేషాలను (remainders) కింది నుంచి పైకి చదవండి.
దశాంశం (భిన్న భాగం) → ఆధారం b: b తో పదే పదే గుణించండి; పూర్ణాంక భాగాలను పై నుంచి కిందికి చదవండి.
బైనరీ ↔ ఆక్టల్: 3 బిట్‌ల (bits) గుంపులు (8 = 2³). బైనరీ ↔ హెక్స్: 4 బిట్‌ల గుంపులు (16 = 2⁴). బిందువు నుంచి బయటికి గుంపులు చేయండి; ఖాళీ స్థానాలను సున్నాలతో నింపండి.
ఆక్టల్ ↔ హెక్స్: బైనరీ ద్వారా మార్చండి.
ఎంఎస్‌బీ (MSB) = అత్యంత ప్రాముఖ్యం గల (ఎడమ చివరి) బిట్; ఎల్‌ఎస్‌బీ (LSB) = అత్యల్ప ప్రాముఖ్యం గల (కుడి చివరి) బిట్.
n బిట్‌లు 2ⁿ అమరికలను ఇస్తాయి; సంజ్ఞ లేని (unsigned) అతిపెద్ద విలువ 2ⁿ − 1 (8 బిట్‌లు: 0 నుంచి 255).
ఉపయోగపడే జతలు: 2¹⁰ = 1,024; 255 = 11111111₂ = 377₈ = FF₁₆.

ఉదాహరణ 1. 45₁₀ ను బైనరీలోకి మార్చండి. సాధన. 45 ÷ 2 = 22 శేషం 1; 22 ÷ 2 = 11 శేషం 0; 11 ÷ 2 = 5 శేషం 1; 5 ÷ 2 = 2 శేషం 1; 2 ÷ 2 = 1 శేషం 0; 1 ÷ 2 = 0 శేషం 1. కింది నుంచి పైకి చదవండి. సమాధానం: 101101₂

ఉదాహరణ 2. 11010₂ ను దశాంశంలోకి మార్చండి. సాధన. 16 + 8 + 0 + 2 + 0. సమాధానం: 26

వివరణ

1. దశాంశం నుంచి ఆక్టల్, హెక్సాడెసిమల్‌లోకి.

ఉదాహరణ 3. 156₁₀ ను ఆక్టల్, హెక్సాడెసిమల్‌లోకి మార్చండి. సాధన. ఆక్టల్: 156 ÷ 8 = 19 శేషం 4; 19 ÷ 8 = 2 శేషం 3; 2 ÷ 8 = 0 శేషం 2 → 234₈. హెక్స్: 156 ÷ 16 = 9 శేషం 12 (C); 9 ÷ 16 = 0 శేషం 9 → 9C₁₆. సరిచూడటం: 2 × 64 + 3 × 8 + 4 = 156; 9 × 16 + 12 = 156. సమాధానం: 234₈, 9C₁₆

2. ఆక్టల్, హెక్సాడెసిమల్ నుంచి దశాంశంలోకి.

ఉదాహరణ 4. 754₈, 3F7₁₆ లను దశాంశంలోకి మార్చండి. సాధన. 7 × 64 + 5 × 8 + 4 = 448 + 40 + 4 = 492. 3 × 256 + 15 × 16 + 7 = 768 + 240 + 7 = 1,015. సమాధానం: 492, 1,015

3. గుంపులుగా విభజించి బైనరీ నుంచి ఆక్టల్, హెక్స్‌లోకి.

ఉదాహరణ 5. 1101011₂ ను ఆక్టల్, హెక్సాడెసిమల్, దశాంశాలలో రాయండి. సాధన. కుడి నుంచి 3 బిట్‌ల గుంపులు: 1 | 101 | 011 → 153₈. 4 బిట్‌ల గుంపులు: 110 | 1011 → 6 | B → 6B₁₆. దశాంశం: 64 + 32 + 8 + 2 + 1 = 107.

ఉదాహరణ 6. A5₁₆ ను ఆక్టల్‌లోకి మార్చండి. (a) 245 (b) 165 (c) 255 (d) 225 సాధన. A5 = 1010 0101 → మూడేసి బిట్‌లుగా మళ్ళీ గుంపులు: 10 | 100 | 101 → 2 | 4 | 5. సమాధానం: (a) 245₈ (A5₁₆ = 245₈ = దశాంశంలో 165; (b) దశాంశ విలువ, ఇది ఉచ్చు).

4. భిన్నాలు (fractions).

ఉదాహరణ 7. 0.625₁₀ ను బైనరీలోకి మార్చండి. సాధన. 0.625 × 2 = 1.25 → 1; 0.25 × 2 = 0.5 → 0; 0.5 × 2 = 1.0 → 1. పై నుంచి కిందికి చదవండి. సమాధానం: 0.101₂

ఉదాహరణ 8. 25.375₁₀ ను బైనరీలోకి మార్చండి. సాధన. 25 = 11001; 0.375 × 2 = 0.75 → 0; 0.75 × 2 = 1.5 → 1; 0.5 × 2 = 1.0 → 1, కాబట్టి 0.011. సమాధానం: 11001.011₂

ఉదాహరణ 9. 1101.11₂, 1A.8₁₆ లను దశాంశంలోకి మార్చండి. సాధన. 8 + 4 + 1 + ½ + ¼ = 13.75. 1 × 16 + 10 + 8/16 = 26.5. సమాధానం: 13.75, 26.5

పద్ధతుల సారాంశం

నుంచి → లోకి	పద్ధతి
ఆధారం b → దశాంశం	Σ అంకె × b^స్థానం
దశాంశం → ఆధారం b	÷ b (పూర్ణ భాగం), × b (భిన్న భాగం)
బైనరీ → ఆక్టల్ / హెక్స్	3 / 4 బిట్‌ల గుంపులు
ఆక్టల్ ↔ హెక్స్	బైనరీ ద్వారా

లోతైన విశ్లేషణ

ప్రతి దశాంశ భిన్నం బైనరీలో అంతం కాదు. 0.1₁₀ = 0.000110011...₂ (0011 అనే భాగం పునరావృతం అవుతుంది); అందుకే చాలా ప్రోగ్రామ్‌లలో 0.1 + 0.2 సరిగ్గా 0.3 కాదు. ఒక భిన్నం (కనిష్ఠ రూపంలో) హారం 2 యొక్క ఘాతం అయితేనే అది బైనరీలో అంతమవుతుంది.
దశాంశ సంఖ్య N కు కావలసిన బిట్‌లు: ⌊log₂ N⌋ + 1. 100 కు 7 బిట్‌లు (1100100); 1,000 కు 10 బిట్‌లు.
అంకెల చెల్లుబాటు: ప్రతి అంకె b కంటే తక్కువగా ఉంటేనే ఆ సంఖ్య ఆధారం b లో చెల్లుతుంది. "789" ఆక్టల్ సంఖ్య కాదు; "1234" కు ఆధారం 5 లేదా అంతకంటే ఎక్కువ కావాలి.
ఆక్టల్, హెక్స్ ఎందుకు? పొడవైన బిట్ వరుసలను ఇవి సంక్షిప్తం చేస్తాయి: ఒక హెక్స్ అంకె = 4 బిట్‌లు, రెండు హెక్స్ అంకెలు = ఒక బైట్ (byte). మెమరీ (memory) చిరునామాలు, రంగు కోడ్‌లు (#FF0000), మెషిన్ కోడ్ జాబితాలు హెక్స్‌ను వాడతాయి.
జరపడం (shifting): బైనరీ సంఖ్య చివర 0 చేరిస్తే అది రెట్టింపు అవుతుంది (1011 → 10110, 11 → 22); చివరి బిట్‌ను తొలగిస్తే సగం అవుతుంది (పూర్ణ భాగం మాత్రమే).

ఉదాహరణ 10. ఆధారం b లో 121 దశాంశంలో 49 కి సమానమైతే, b ను కనుగొనండి. (a) 5 (b) 6 (c) 7 (d) 8 సాధన. b² + 2b + 1 = 49, కాబట్టి (b + 1)² = 49, b = 6. సమాధానం: (b) 6

ఉదాహరణ 11. 2F₁₆ ను ఆక్టల్‌లోకి మార్చండి. సాధన. 2F = 0010 1111 = 101 111 → 57₈. సరిచూడటం: 2 × 16 + 15 = 47 = 5 × 8 + 7. సమాధానం: 57₈

ఉదాహరణ 12. ఆరోహణ క్రమంలో అమర్చండి: 110011₂, 62₈, 33₁₆. సాధన. 110011₂ = 51; 62₈ = 50; 33₁₆ = 51. సమాధానం: 62₈ < 110011₂ = 33₁₆

తరచూ చేసే పొరపాట్లు

✗ "శేషాలను పై నుంచి కిందికి చదవాలి." ✓ పూర్ణ సంఖ్యలకు కింది నుంచి పైకి చదవాలి (చివరి శేషమే ఎంఎస్‌బీ).
✗ "భిన్న భాగపు అంకెలను కింది నుంచి పైకి చదవాలి." ✓ భిన్నాలకు పూర్ణాంక భాగాలను పై నుంచి కిందికి చదవాలి.
✗ "బిట్‌లను ఎడమ నుంచి గుంపులు చేయాలి." ✓ బైనరీ బిందువు నుంచి బయటికి (పూర్ణ భాగానికి కుడి నుంచి ఎడమకు) గుంపులు చేసి, సున్నాలతో నింపాలి.
✗ "ఆక్టల్ 0 నుంచి 8 అంకెలను వాడుతుంది." ✓ ఆక్టల్ 0 నుంచి 7 వాడుతుంది; హెక్స్ 0 నుంచి 9, A నుంచి F వాడుతుంది.
✗ "హెక్స్ F = 16." ✓ F = 15; 10₁₆ = 16.
✗ "8 బిట్‌లు 256 వరకు నిల్వ చేయగలవు." ✓ 8 బిట్‌లు 256 అమరికలను ఇస్తాయి, కాబట్టి సంజ్ఞ లేని అతిపెద్ద విలువ 255.
✗ "ప్రతి దశాంశ భిన్నం ఖచ్చితంగా మారుతుంది." ✓ 0.1₁₀ బైనరీలో పునరావృతం అవుతుంది.

త్వరిత పునశ్చరణ

బైనరీ 2, ఆక్టల్ 8, దశాంశం 10, హెక్స్ 16; అంకెలు 0 నుంచి ఆధారం − 1.
A నుంచి F = 10 నుంచి 15.
దశాంశంలోకి: Σ అంకె × స్థాన విలువ.
పూర్ణ భాగం: ÷ ఆధారం, శేషాలు కింది నుంచి పైకి.
భిన్న భాగం: × ఆధారం, పూర్ణాంక భాగాలు పై నుంచి కిందికి.
3 బిట్‌లు = 1 ఆక్టల్ అంకె; 4 బిట్‌లు = 1 హెక్స్ అంకె.
n బిట్‌లు → 2ⁿ అమరికలు, గరిష్ఠం 2ⁿ − 1.
45 = 101101₂ = 55₈ = 2D₁₆.
255 = 11111111₂ = 377₈ = FF₁₆.
0.625 = 0.101₂; 0.1 బైనరీలో పునరావృతం అవుతుంది.

Medha AI writes its own notes and checks them against the sources listed. Medha AI is an independent preparation service. It is not affiliated with, endorsed by or connected to APPSC, TGPSC (formerly TSPSC), MPSC, UPSC or any other commission or government body.