తరగతి గదిలో గణాంకాలు: మార్కుల సగటులు, విస్తరణ…

ముఖ్య వాస్తవాలు

కేంద్ర ప్రవృత్తి మాపనాలు (measures of central tendency; సగటులు): అంకమధ్యమం (mean), మధ్యగతం (median), బాహుళకం (mode). సి.వి. గుడ్ (C.V. Good): మార్కులు మాపనిపై ఒక బిందువు చుట్టూ గుమిగూడే ధోరణి.
అంకమధ్యమం = మార్కుల మొత్తం ÷ మార్కుల సంఖ్య (M = ΣX ÷ N); ఇది గణిత (అంక) సగటు (mathematical average); ప్రతి మార్కునూ వాడుతుంది; అతి విలువలు దీన్ని లాగుతాయి.
మధ్యగతం = క్రమంలో అమర్చిన మార్కుల్లో మధ్యలో ఉండే మార్కు: సగం మార్కులు దాని పైన, సగం దాని కింద ఉంటాయి; ఇది స్థాన సగటు (positional average); అతి విలువలు దీనిపై ప్రభావం చూపవు; = 50వ శతాంశకం = Q₂.
బాహుళకం = ఎక్కువసార్లు వచ్చే మార్కు; నామమాత్రపు దత్తాంశానికి (nominal data; రక్త వర్గం, మతం, ఇష్టమైన సబ్జెక్టు వంటి వర్గాలు) ఉన్న ఏకైక సగటు.
అనుభావిక సంబంధం (empirical relation; కార్ల్ పియర్సన్ (Karl Pearson); ఓ మోస్తరు వక్రత ఉన్న దత్తాంశం): బాహుళకం = 3 మధ్యగతం − 2 అంకమధ్యమం.
రెండు సమూహాల సంయుక్త అంకమధ్యమం (combined mean) = (n₁x̄₁ + n₂x̄₂) ÷ (n₁ + n₂).
విచలన మాపనాలు (measures of variability; విస్తరణ (dispersion), వ్యాప్తి చెందడం): వ్యాప్తి, చతుర్థాంశ విచలనం, సగటు విచలనం, ప్రామాణిక విచలనం.
వ్యాప్తి (range) = అత్యధిక మార్కు − అత్యల్ప మార్కు (అతి వేగవంతమైనది, అతి స్థూలమైనది; రెండు మార్కులపైనే ఆధారపడుతుంది).
చతుర్థాంశ విచలనం (Q) (quartile deviation) = (Q₃ − Q₁) ÷ 2, అంటే అర్ధ అంతర చతుర్థాంశ వ్యాప్తి; ఇది మధ్యగతంతో జతగా వాడతారు.
సగటు విచలనం (mean deviation) = అంకమధ్యమం నుంచి విచలనాల సగటు, గుర్తులను (+, −) పట్టించుకోకుండా.
విస్తృతి (variance) = అంకమధ్యమం నుంచి మార్కుల తేడాల వర్గాల సగటు (σ²).
ప్రామాణిక విచలనం (SD, σ) (standard deviation) = విస్తృతి వర్గమూలం; అంకమధ్యమం నుంచి మార్కుల సాధారణ (ప్రామాణిక) దూరం; విస్తరణకు అత్యంత స్థిరమైన మాపనం; అంకమధ్యమంతో జతగా వాడతారు. ఈ పదాన్ని కార్ల్ పియర్సన్ రూపొందించారు (1893 ఉపన్యాసంలో, ముద్రణలో 1894).
శతాంశకం (Pₖ) (percentile): సమూహంలో k% మంది ఏ మార్కుకు దిగువన ఉంటారో ఆ మార్కు; శతాంశ కోటి (PR) (percentile rank): ఇచ్చిన మార్కు కంటే తక్కువ సాధించిన సమూహ శాతం.
జెడ్-స్కోరు (z-score) = (X − అంకమధ్యమం) ÷ SD (అంకమధ్యమం 0, SD 1); టి-స్కోరు (T-score) = 50 + 10z (అంకమధ్యమం 50, SD 10).
సామాన్య సంభావ్యతా వక్రరేఖ (normal curve): అంకమధ్యమం = మధ్యగతం = బాహుళకం; ±1 SD లోపల 68.26%, ±2 SD లోపల 95.44%, ±3 SD లోపల 99.73% మంది ఉంటారు.
ఒగివ్ (ogive) = సంచిత పౌనఃపున్య (సంచిత శాతం) గ్రాఫ్; మధ్యగతం, శతాంశకాలను దీని నుంచి చదువుతారు.
సహసంబంధం = రెండు చరరాశుల మధ్య సంబంధాన్ని కొలిచే గణాంక సాధనం; గుణకం −1 నుంచి +1 వరకు.
ధనాత్మక సహసంబంధం: రెండూ కలిసి పెరుగుతాయి, కలిసి తగ్గుతాయి; ప్రతికూల: ఒకటి పెరిగితే మరొకటి తగ్గుతుంది; శూన్య: సంబంధం లేదు.
కార్ల్ పియర్సన్: లబ్ధ-భ్రామక (product-moment) సహసంబంధం r; చార్లెస్ స్పియర్‌మన్ (Charles Spearman): ర్యాంక్ సహసంబంధం ρ (రో) = 1 − 6ΣD² ÷ [N(N² − 1)]. సహసంబంధం ("co-relation"), రిగ్రెషన్ (regression) భావనలను మొదట ఫ్రాన్సిస్ గాల్టన్ (Francis Galton) ఇచ్చారు.

వివరణ

1. సగటు కట్టే ముందు మార్కులను అమర్చడం

క్రమ శ్రేణి (array): మార్కులను ఆరోహణ లేదా అవరోహణ క్రమంలో అమర్చడం.
సమూహ పౌనఃపున్య పంపిణీ (grouped frequency distribution): మార్కులను తరగతి అంతరాల్లో (సాధారణంగా 3, 5 లేదా 10 యూనిట్ల వెడల్పు; సుమారు 5 నుంచి 15 తరగతులు) టాలీ గుర్తులు, పౌనఃపున్యాలతో ఉంచడం; పౌనఃపున్యాల మొత్తం = N.
36–39 తరగతి ఖచ్చిత హద్దులు (exact limits) 35.5–39.5; దాని మధ్య విలువ 37.5.

గ్రాఫ్	ఎలా గీస్తారు	దేనికి వాడతారు
హిస్టోగ్రామ్ (సోపాన చిత్రం)	పక్కపక్కనే కమ్మీలు: ఆధారం = తరగతి అంతరం, ఎత్తు = పౌనఃపున్యం	పంపిణీ ఆకారం, బాహుళకం
పౌనఃపున్య బహుభుజి	తరగతి మధ్య విలువల వద్ద పౌనఃపున్యాలు గుర్తించి గీతలతో కలపడం	రెండు పంపిణీలను పోల్చడం
ఒగివ్	ఎగువ ఖచ్చిత హద్దుల వద్ద సంచిత % గుర్తించడం	మధ్యగతం, చతుర్థాంశాలు, శతాంశకాలు
వృత్త చిత్రం (పై చార్ట్)	సెక్టార్ కోణం = (భాగం ÷ మొత్తం) × 360°	మొత్తంలో వాటాలు

ఉదాహరణ: 180 మంది వసతిగృహ విద్యార్థుల్లో 45 మంది గిరిజన ప్రాంతాల వారు, కాబట్టి వారి సెక్టార్ 45 ÷ 180 × 360° = 90°.

2. ఏ సగటు ఎప్పుడు

సగటు	రకం	దేనికి ఉత్తమం	బలహీనత
అంకమధ్యమం	గణిత	అంతర దత్తాంశం, తదుపరి గణనలు (SD, r); నమూనా నుంచి నమూనాకు అత్యంత స్థిరమైనది	అతి మార్కులు దీన్ని లాగుతాయి
మధ్యగతం	స్థాన	వక్రత ఉన్న మార్కులు, ర్యాంకులు, అక్షర గ్రేడ్‌లు, అంత్య రహిత తరగతులు ("60, ఆపైన")	ఇతర మార్కుల పరిమాణాన్ని పట్టించుకోదు
బాహుళకం	ఎక్కువసార్లు వచ్చేది	నామమాత్రపు దత్తాంశం, "అత్యంత ఆదరణ పొందినది" (ఎక్కువ మంది విద్యార్థులకు సరిపడే ఒకే యూనిఫాం సైజు)	ఉండకపోవచ్చు, లేదా రెండు (ద్వి బాహుళక) లేదా ఎక్కువ ఉండవచ్చు

సగటు వల్ల రెండు ఉపయోగాలు: సమూహాన్ని మొత్తంగా వర్ణించడం, ఒకే పరీక్షపై సమూహాలను పోల్చడం.
అంకమధ్యమం లక్షణాలు: అంకమధ్యమం నుంచి విచలనాల మొత్తం ఎప్పుడూ సున్నా; అంకమధ్యమం నుంచి తీసుకున్నప్పుడు విచలనాల వర్గాల మొత్తం కనిష్ఠం.
బాహుళకం అతి వేగవంతమైన, అతి స్థూలమైన సగటు; హిస్టోగ్రామ్ శిఖరం నుంచి దీన్ని చదవవచ్చు.
అంకమధ్యమం మార్కుల గురుత్వ కేంద్రం (సమతుల్య బిందువు) (centre of gravity): రెండు వైపులా ఉన్న విచలనాలు ఒకదానికొకటి సమతుల్యమవుతాయి.
తప్పు నమోదును సరిదిద్దడం: 30 మంది విద్యార్థులు, అంకమధ్యమం 45, కానీ ఒకరి మార్కు 72కు బదులు 42గా నమోదైంది. సరైన మొత్తం = 1350 − 42 + 72 = 1380, కాబట్టి సరైన అంకమధ్యమం = 1380 ÷ 30 = 46.

3. సాధించిన ఉదాహరణ: ఒక తరగతి పరీక్ష (10 మంది విద్యార్థులు, 25 మార్కులకు)

మార్కులు: 12, 15, 9, 18, 15, 11, 20, 15, 13, 12

అంకమధ్యమం = 140 ÷ 10 = 14.
మధ్యగతం: క్రమంలో 9, 11, 12, 12, 13, 15, 15, 15, 18, 20. మార్కులు 10 (సరి సంఖ్య) కాబట్టి మధ్యగతం 5వ, 6వ మార్కుల సగటు: (13 + 15) ÷ 2 = 14.
బాహుళకం = 15 (మూడుసార్లు).
వ్యాప్తి = 20 − 9 = 11.
18 శతాంశ కోటి: 10 మందిలో 8 మంది 18 కంటే తక్కువ సాధించారు, కాబట్టి PR = 8 ÷ 10 × 100 = 80 (కొన్ని పుస్తకాలు అదే మార్కు వచ్చిన విద్యార్థుల్లో సగం మందిని కూడా కలుపుతాయి).

4. ముడి మార్కుల మధ్యగతం (బేసి సంఖ్య). 17, 19, 22, 24, 26, 30, 32, 38, 40: తొమ్మిది మార్కులు, ఇప్పటికే క్రమంలో ఉన్నాయి, కాబట్టి మధ్యగతం 5వ మార్కు = 26. నియమం: అమర్చిన తర్వాత మధ్యగతం = ((N + 1) ÷ 2)వ మార్కు.

5. సమూహ దత్తాంశానికి సూత్రాలు

అంకమధ్యమం, దీర్ఘ పద్ధతి: M = Σfx ÷ N (x = తరగతి మధ్య విలువ). సంక్షిప్త (ఊహించిన అంకమధ్యమం) పద్ధతి: M = A + (Σfx′ ÷ N) × i.
మధ్యగతం: Md = l + [(N/2 − F) ÷ f] × i; l = మధ్యగత తరగతి ఖచ్చిత దిగువ హద్దు, F = ఆ తరగతికి దిగువన ఉన్న సంచిత పౌనఃపున్యం, f = ఆ తరగతి పౌనఃపున్యం, i = తరగతి వెడల్పు. ఉదాహరణ: l = 39.5, N = 50, F = 18, f = 12, i = 5 అయితే 39.5 + (7 ÷ 12) × 5 ≈ 42.4.
Q₁ ను N/4 వద్ద, Q₃ ను 3N/4 వద్ద ఇదే విధంగా కనుగొంటారు. Q₁ = 25వ శతాంశకం, Q₃ = 75వ శతాంశకం; Q₃ − Q₁ (అంతర చతుర్థాంశ వ్యాప్తి) మధ్యలోని 50% మార్కులను కవర్ చేస్తుంది.
అనుభావిక బాహుళకం: అంకమధ్యమం 40, మధ్యగతం 38 → బాహుళకం = 3 × 38 − 2 × 40 = 34.

6. సంయుక్త అంకమధ్యమం. సెక్షన్ A: 15 మంది, అంకమధ్యమం 8; సెక్షన్ B: 10 మంది, అంకమధ్యమం 6. సంయుక్త అంకమధ్యమం = (15 × 8 + 10 × 6) ÷ (15 + 10) = 180 ÷ 25 = 7.2. (సాధారణ సగటు 7 కాదు, ఎందుకంటే సమూహాల పరిమాణాలు వేరు.)

7. చిన్న సమితిలో విస్తరణ. మార్కులు 4, 6, 8, 10, 12: అంకమధ్యమం = 8; విచలనాలు −4, −2, 0, 2, 4.

సగటు విచలనం = (4 + 2 + 0 + 2 + 4) ÷ 5 = 2.4 (గుర్తులను వదిలేస్తారు, ఎందుకంటే గుర్తులతో విచలనాల మొత్తం ఎప్పుడూ సున్నా).
వర్గాలు 16, 4, 0, 4, 16; వర్గాల మొత్తం = 40. విస్తృతి = 40 ÷ 5 = 8; SD = √8 ≈ 2.83. SD = 6 అయితే విస్తృతి = 36.
Σd², అంటే అంకమధ్యమం నుంచి విచలనాల వర్గాల మొత్తాన్ని వర్గాల మొత్తం (sum of squares) అంటారు; సగటు విచలనాన్ని సరాసరి విచలనం (AD) (average deviation) అని కూడా అంటారు.
విస్తృతి వర్గ యూనిట్లలో (మార్కులు²) ఉంటుంది; SD అసలు యూనిట్లలో ఉంటుంది, అందుకే SD ని తెలియజేస్తారు. పరీక్షల్లో మొత్తం విస్తృతి = నిజ విస్తృతి + దోష విస్తృతి.

మాపనం	సూత్రం	దేనితో జత
వ్యాప్తి	H − L	త్వరిత పరిశీలన
చతుర్థాంశ విచలనం	(Q₃ − Q₁) ÷ 2	మధ్యగతం, అంత్య రహిత తరగతులు
సగటు విచలనం	Σd (గుర్తులు లేకుండా) ÷ N	ఇప్పుడు అరుదుగా వాడతారు
ప్రామాణిక విచలనం	√(Σd² ÷ N), అంకమధ్యమం నుంచి విచలనాలు	అంకమధ్యమం, సామాన్య దత్తాంశం

సామాన్య పంపిణీలో: QD < MD < SD (సుమారు 0.67σ, 0.80σ, σ).
అన్ని మార్కులూ సమానమైనప్పుడు మాత్రమే SD = 0.

8. SDని అర్థం చేసుకోవడం. రెండు సెక్షన్ల అంకమధ్యమం ఒకటే, 60. సెక్షన్ A లో SD 5 (విద్యార్థులు ఒకేలా ఉన్నారు: సజాతీయ సమూహం, ఒకే సమూహంగా బోధించండి); సెక్షన్ B లో SD 15 (విస్తృత విస్తరణ: విజాతీయ సమూహం, నివారణ, సంపుష్టీకరణ సమూహాలను ప్రణాళిక చేయండి). అందుకే సగటు ఒక్కటే రెండు తరగతులను పోల్చలేదు.

9. ప్రతి మార్కునూ మార్చితే ప్రభావం. ప్రతి మార్కుకూ ఒకే సంఖ్య (5 గ్రేస్ మార్కులు) కలిపితే అంకమధ్యమం, మధ్యగతం, బాహుళకం 5 పెరుగుతాయి, కానీ వ్యాప్తి, SD మారవు. ప్రతి మార్కునూ k తో గుణిస్తే అంకమధ్యమం, SD k రెట్లు, విస్తృతి k² రెట్లు అవుతాయి (అంకమధ్యమం 12, ప్రతి మార్కు × 2 తర్వాత + 3 → కొత్త అంకమధ్యమం 27).

10. వక్రత ఉన్న మార్కులు. చాలా సులభమైన పరీక్షలో మార్కులు పైభాగంలో పోగవుతాయి (ప్రతికూలంగా వక్రీకరించబడిన: అంకమధ్యమం < మధ్యగతం < బాహుళకం); చాలా కఠినమైన పరీక్షలో కిందిభాగంలో పోగవుతాయి (అనుకూలంగా వక్రీకరించబడిన: అంకమధ్యమం > మధ్యగతం > బాహుళకం). వక్రత ఉన్న దత్తాంశంలో మధ్యగతం సురక్షితమైన సగటు.

11. స్థిరత్వాన్ని పోల్చడం: వైవిధ్య గుణకం (coefficient of variation; కార్ల్ పియర్సన్) = (SD ÷ అంకమధ్యమం) × 100, ఇది సాపేక్ష (యూనిట్ రహిత) మాపనం. తరగతి A: అంకమధ్యమం 60, SD 12 → CV 20%; తరగతి B: అంకమధ్యమం 40, SD 10 → CV 25%. తరగతి A ఎక్కువ స్థిరంగా ఉంది (తక్కువ CV). వ్యాప్తి, Q, MD, SD పరిపూర్ణ మాపనాలు, మార్కుల యూనిట్లలోనే ఉంటాయి.

12. ప్రామాణిక స్కోర్లు

మాపని	అంకమధ్యమం	SD
జెడ్-స్కోరు	0	1
టి-స్కోరు	50	10
స్టానైన్ (తొమ్మిది పట్టీలు)	5	సుమారు 2
విచలన ప్రజ్ఞాలబ్ధి (వెక్స్‌లర్)	100	15

అంకమధ్యమం 50, SD 10, విద్యార్థి మార్కు 65 → z = (65 − 50) ÷ 10 = 1.5, T = 65. ప్రామాణిక స్కోర్లకు సమాన యూనిట్లు ఉంటాయి; శతాంశక యూనిట్లు మాపని పొడవునా అసమానంగా ఉంటాయి.

13. పాఠశాలలో సహసంబంధం

చరరాశుల జత	సంభావ్య సహసంబంధం
ప్రజ్ఞ, పాఠశాల సాధన; ఎత్తు, బరువు	ధనాత్మక
టీవీ చూసే గంటలు, మార్కులు; టైపింగ్ సాధన, తప్పులు	ప్రతికూల
రోల్ నంబర్, మార్కులు; ఎత్తు, ఇంగ్లిష్ మార్కులు	దాదాపు శూన్యం

సహసంబంధ రకాలు: ధనాత్మక, ప్రతికూల, శూన్య; రేఖీయ (linear), వక్రరేఖీయ (curvilinear); సరళ, పాక్షిక (simple, partial), బహుళ (multiple). ("సంచిత సహసంబంధం" (cumulative correlation) అనే రకం లేదు.)
సహసంబంధానికి అవే విద్యార్థుల రెండు మార్కుల సమితులు అవసరం; r సంబంధం స్థాయిని, దిశను ఒకే సంఖ్యలో ఇస్తుంది.
గుర్తు దిశను చూపుతుంది; పరిమాణం బలాన్ని చూపుతుంది: −0.82, +0.60 కంటే బలమైనది; +0.9, −0.9 సమాన బలం కలవి.
విక్షేప చిత్రం (స్కాటర్ డయాగ్రామ్): జత మార్కులను చుక్కలుగా గుర్తించడం. కుడివైపు పైకి వెళ్లే సన్నని పట్టీ = అధిక ధనాత్మకం; కుడివైపు కిందికి వెళ్లేది = అధిక ప్రతికూలం; అన్నీ పైకి వెళ్లే సరళరేఖపై ఉంటే = +1; ఆకారం లేని మేఘం = శూన్యం.
పియర్సన్ r రేఖీయ (linear) సంబంధం ఉన్న అంతర లేదా నిష్పత్తి మార్కులకు సరిపోతుంది; "లబ్ధ-భ్రామక" = రెండు అంకమధ్యమాల నుంచి జత విచలనాల లబ్ధాలు. బలమైన వక్ర (తలకిందుల U) సంబంధం ఉన్నా r 0 కు దగ్గరగా రావచ్చు.
స్పియర్‌మన్ ρ ర్యాంకులను వాడుతుంది; చిన్న సమూహాలకు (N సుమారు 25 కంటే తక్కువ) లేదా ర్యాంకులుగా మాత్రమే ఉన్న దత్తాంశానికి త్వరితమైనది. D = ప్రతి విద్యార్థి రెండు ర్యాంకుల మధ్య తేడా. సమాన మార్కులకు వారు పంచుకునే ర్యాంకుల సగటు ఇస్తారు (2వ, 3వ, 4వ స్థానాలు పంచుకున్న ముగ్గురికి ఒక్కొక్కరికి 3).
స్పియర్‌మన్ ఉదాహరణ: ర్యాంకులు (1, 2, 3, 4, 5), (2, 1, 4, 3, 5); D: −1, 1, −1, 1, 0; ΣD² = 4. ρ = 1 − (6 × 4) ÷ (5 × 24) = 0.8. ఒకే ర్యాంకులు → ρ = +1; పూర్తిగా తిరగబడిన ర్యాంకులు → ρ = −1. N = 5, ΣD² = 10 → ρ = 0.5; N = 6, ΣD² = 14 → ρ = 0.6.
r² (నిర్ధారణ గుణకం): రెండింటికీ ఉమ్మడిగా ఉన్న విస్తృతి వాటా: r = 0.7 → 49%.
r ను సాధారణంగా చదివే విధానం (గారెట్): 0 నుంచి ±0.20 నామమాత్రం; ±0.20 నుంచి ±0.40 తక్కువ; ±0.40 నుంచి ±0.70 మధ్యస్థం (గణనీయం); ±0.70 నుంచి ±0.90 అధికం; ±0.90 నుంచి ±1.00 చాలా అధికం.
సహసంబంధం కారణత్వం కాదు: సహసంబంధ అధ్యయనాలు రెండు చరరాశులు సంబంధం కలిగి ఉన్నాయా అని మాత్రమే అడుగుతాయి; గణనీయమైన r, ధనాత్మకమైనా ప్రతికూలమైనా, రెండూ కలిసి మారుతాయని మాత్రమే చెబుతుంది.
పరీక్షలు సహసంబంధాన్ని వాడతాయి: పరీక్ష-పునఃపరీక్ష విశ్వసనీయత, సప్రమాణత గుణకాలు సహసంబంధ గుణకాలే (EDU-ST-02 చూడండి).

14. మాపన స్థాయిలు (ఎస్.ఎస్. స్టీవెన్స్ (S.S. Stevens), 1946; ఏ గణాంకం వాడాలో నిర్ణయిస్తాయి)

స్థాయి	ఉదాహరణ	సగటు
నామమాత్రపు	జెండర్, రక్త వర్గం, రోల్ నంబర్	బాహుళకం
క్రమసూచిక	ర్యాంకులు, గ్రేడ్‌లు A, B, C	మధ్యగతం
అంతర (నిజమైన సున్నా లేదు)	పరీక్ష మార్కులు, °C లో ఉష్ణోగ్రత	అంకమధ్యమం
నిష్పత్తి (నిజమైన సున్నా)	ఎత్తు, బరువు, సమయం	అంకమధ్యమం (మిగతావన్నీ కూడా)

తరచూ చేసే పొరపాట్లు

✗ "మధ్యగతం గణిత సగటు." ✓ అంకమధ్యమం గణిత సగటు; మధ్యగతం స్థాన సగటు.
✗ "నామమాత్రపు దత్తాంశానికి అంకమధ్యమం సరైనది." ✓ నామమాత్రపు దత్తాంశానికి ఏకైక సగటు బాహుళకం.
✗ "సగం మార్కులు ఏ మార్కు పైన, సగం ఏ మార్కు కింద ఉంటాయో అది అంకమధ్యమం." ✓ అది మధ్యగతం.
✗ "SD అంటే విస్తృతి వర్గం." ✓ SD అంటే విస్తృతి వర్గమూలం; విస్తృతి SD వర్గం.
✗ "విస్తృతి అంటే అంకమధ్యమం నుంచి సగటు తేడా." ✓ అది తేడాల వర్గాల సగటు.
✗ "అత్యధిక − అత్యల్ప మార్కు చతుర్థాంశ విచలనం." ✓ అది వ్యాప్తి; Q = (Q₃ − Q₁) ÷ 2.
✗ "ప్రమాణాలు, విశ్వసనీయత లేదా సప్రమాణత మార్కుల విస్తరణను కొలుస్తాయి." ✓ విస్తరణను SD (వ్యాప్తి, Q, MD) కొలుస్తుంది; మిగతావి పరీక్ష లక్షణాలు.
✗ "సంచిత పౌనఃపున్య గ్రాఫ్ హిస్టోగ్రామ్." ✓ అది ఒగివ్.
✗ "15 అంశాలు (అంకమధ్యమం 8), 10 అంశాలు (అంకమధ్యమం 6) సంయుక్త అంకమధ్యమం 7." ✓ పరిమాణంతో భారం ఇవ్వండి: 180 ÷ 25 = 7.2.
✗ "ప్రతికూల సహసంబంధం అంటే సంబంధం లేదు" లేదా "−0.6, +0.6 కంటే బలహీనం". ✓ ప్రతికూలం = ఒకటి పెరిగితే మరొకటి తగ్గుతుంది; −0.6, +0.6 సమాన బలం కలవి; సంబంధం లేకపోవడం శూన్య సహసంబంధం.
✗ "గణనీయమైన సహసంబంధం X వల్లే Y అని రుజువు చేస్తుంది." ✓ X, Y కలిసి మారుతాయని మాత్రమే చూపుతుంది.
✗ "అందరికీ 5 గ్రేస్ మార్కులు కలిపితే SD పెరుగుతుంది." ✓ SD అలాగే ఉంటుంది; సగటులు మాత్రమే 5 పెరుగుతాయి.
✗ బీఆర్ఏఓయూ (BRAOU) BRS పాఠం ±0.40 నుంచి ±0.70 ను "అధికం" అంటుంది. ✓ ప్రామాణిక (గారెట్) అర్థం మధ్యస్థం (గణనీయం); అధికం ±0.70 నుంచి మొదలవుతుంది.

త్వరిత పునశ్చరణ

సగటులు: అంకమధ్యమం (గణిత), మధ్యగతం (స్థాన, సగం పైన సగం కింద), బాహుళకం (ఎక్కువసార్లు వచ్చేది).
నామమాత్రపు → బాహుళకం; ర్యాంకులు, గ్రేడ్‌లు, వక్రత లేదా అంత్య రహిత → మధ్యగతం; అంతర → అంకమధ్యమం.
మధ్యగతం = అమర్చిన తర్వాత ((N + 1) ÷ 2)వ మార్కు; సంయుక్త అంకమధ్యమం 15 × 8, 10 × 6 → 7.2.
బాహుళకం = 3 మధ్యగతం − 2 అంకమధ్యమం; ఒగివ్ = సంచిత పౌనఃపున్య గ్రాఫ్.
వ్యాప్తి = H − L; Q = (Q₃ − Q₁) ÷ 2; MD గుర్తులను వదిలేస్తుంది.
విస్తృతి = విచలనాల వర్గాల అంకమధ్యమం; SD = √విస్తృతి; SD 0 = అన్ని మార్కులూ సమానం.
గ్రేస్ మార్కులు: సగటులు పెరుగుతాయి, SD మారదు; CV = SD ÷ అంకమధ్యమం × 100.
సామాన్య వక్రరేఖ: 1 / 2 / 3 SD లోపల 68.26 / 95.44 / 99.73%; z అంకమధ్యమం 0 SD 1; T అంకమధ్యమం 50 SD 10.
సహసంబంధం −1 నుంచి +1: ధనాత్మకం కలిసి, ప్రతికూలం వ్యతిరేకంగా, శూన్యం సంబంధం లేదు; కారణత్వం కాదు.
పియర్సన్ r (లబ్ధ-భ్రామక), స్పియర్‌మన్ ρ = 1 − 6ΣD² ÷ [N(N² − 1)], మొదట గాల్టన్.

ఇంకా లోతుగా: లోతైన విశ్లేషణ (APPSC Paper I సాధారణంగా అడిగే స్థాయి కంటే ఎక్కువ)

లోతైన విశ్లేషణ

1. అంకమధ్యమ ప్రామాణిక దోషం (SEM) = SD ÷ √N: ఒక నమూనా అంకమధ్యమం నమూనా నుంచి నమూనాకు ఎంత మారుతుందో చూపుతుంది. ఇది మార్కుల SD కాదు. SEM, పరామితి (జనాభాకు సంబంధించిన విలువ), అంచనా "విస్తృతి", "SD" ప్రశ్నల్లో తరచూ వచ్చే తప్పు ఆప్షన్లు.

2. వక్రరేఖ ఆకారం. వక్రత (skewness) = సౌష్ఠవం లేకపోవడం; కర్టోసిస్ (kurtosis) = శిఖర స్వభావం: లెప్టోకర్టిక్ (సామాన్యం కంటే ఎక్కువ శిఖరం), మీసోకర్టిక్ (సామాన్యం), ప్లాటికర్టిక్ (ఎక్కువ చదునుగా).

3. ఇతర సహసంబంధ గుణకాలు

గుణకం	ఎప్పుడు వాడతారు
ఫై (φ)	రెండు చరరాశులూ నిజమైన రెండు వర్గాలవి (జెండర్, ఉత్తీర్ణత/అనుత్తీర్ణత)
పాయింట్-బైసీరియల్	ఒకటి రెండు వర్గాలది (అంశం సరి/తప్పు), మరొకటి అవిచ్ఛిన్నం (మొత్తం మార్కు): అంశ విచక్షణ
పాక్షిక	మూడో చరరాశి (వయస్సు) ప్రభావాన్ని తొలగిస్తారు
బహుళ (R)	ఒక చరరాశిని రెండు లేదా ఎక్కువ ఇతర చరరాశులతో కలిపి సంబంధపరుస్తారు

4. r విషయంలో జాగ్రత్తలు. ఒక పరీక్షకు మార్కులు కలిపితే r మారదు. పరిమిత వ్యాప్తి (టాపర్లు మాత్రమే ఉన్న తరగతి) r ను తగ్గిస్తుంది. పెద్ద నమూనాలో చిన్న r కూడా గణాంకపరంగా గణనీయం కావచ్చు. సహసంబంధ గుణకాలు శాతాలు కావు, వాటి సగటును నేరుగా తీసుకోలేం.

Medha AI writes its own notes and checks them against the sources listed. Medha AI is an independent preparation service. It is not affiliated with, endorsed by or connected to APPSC, TGPSC (formerly TSPSC), MPSC, UPSC or any other commission or government body.