అంకగణిత, భారిత, గుణ, హార్మోనిక్ సగటులు, వాటి…

ముఖ్య వాస్తవాలు

అంకగణిత సగటు (arithmetic mean, AM), గుర్తు x̄:
- వ్యక్తిగత శ్రేణి (individual series): x̄ = Σx ÷ n;
- విచ్ఛిన్న శ్రేణి (discrete series): x̄ = Σfx ÷ N, N = Σf;
- అవిచ్ఛిన్న శ్రేణి (continuous series): x = తరగతి మధ్య విలువ (mid-value), సూత్రం అదే;
- సంక్షిప్త పద్ధతి (ఊహించిన సగటు (assumed mean) A, d = x − A): x̄ = A + Σfd ÷ N;
- సోపాన విచలనం (step deviation) (d′ = (x − A)/h): x̄ = A + (Σfd′ ÷ N) × h.
AM లక్షణాలు:
- Σ(x − x̄) = 0: సగటు నుంచి విచలనాల (deviations) మొత్తం సున్నా;
- A = x̄ అయినప్పుడు Σ(x − A)² కనిష్ఠం;
- సంయుక్త సగటు (combined mean) x̄₁₂ = (n₁x̄₁ + n₂x̄₂) ÷ (n₁ + n₂);
- మూల బిందువు, స్కేలు మార్పు (change of origin and scale): u = (x − A)/h అయితే x̄ = A + h ū.
భారిత సగటు (weighted mean): x̄w = Σwx ÷ Σw. అన్ని భారాలు సమానమైతే ఇది సాధారణ AMకు సమానం.
గుణ మధ్యమం (geometric mean, GM): n విలువల లబ్ధానికి n-వ మూలం.
- GM = (x₁ × x₂ × … × xₙ)^(1/n);
- సంవర్గమానాల (logarithms) ద్వారా: GM = antilog (Σ log x ÷ n); సమూహ డేటాకు: antilog (Σf log x ÷ N);
- భారిత: antilog (Σw log x ÷ Σw).
హార్మోనిక్ సగటు (harmonic mean, HM): వ్యుత్క్రమాల (reciprocals) AMకు వ్యుత్క్రమం.
- HM = n ÷ Σ(1/x); సమూహ డేటాకు: HM = N ÷ Σ(f/x).
సంబంధం: ధన విలువలకు AM ≥ GM ≥ HM; అన్ని విలువలు ఒకటే అయినప్పుడు మాత్రమే మూడూ సమానం.
రెండు ధన సంఖ్యలు a, b: AM = (a + b)/2, GM = √(ab), HM = 2ab/(a + b), మరియు GM² = AM × HM.
ఉపయోగాలు: సాధారణ సగటులకు AM; సగటు వృద్ధి రేట్లు (growth rates), నిష్పత్తులు, శాతాలు, సూచిక సంఖ్యల (index numbers)కు GM; సమాన దూరాలపై సగటు వేగం, సమాన మొత్తంలో డబ్బు ఖర్చు చేసినప్పుడు సగటు ధరకు HM.
ఏదైనా విలువ సున్నా అయితే GM, HM వాడలేం; రుణ విలువలతో GM వాడరు.

ఉదాహరణ 1. 12, 18, 25, 30, 15 ల AM కనుగొనండి. సాధన. Σx = 100, n = 5. సమాధానం: 20

ఉదాహరణ 2. 4, 9, 6 ల GM కనుగొనండి. సాధన. లబ్ధం = 216; 216 యొక్క ఘనమూలం. సమాధానం: 6

ఉదాహరణ 3. 2, 3, 6 ల HM కనుగొనండి. సాధన. Σ(1/x) = 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1. HM = 3 ÷ 1. సమాధానం: 3

వివరణ

1. సోపాన విచలన పద్ధతిలో అవిచ్ఛిన్న శ్రేణి AM. d′ చిన్న పూర్ణ సంఖ్యలు అయ్యేలా A ను మధ్యలో ఉన్న మధ్య విలువగా, h ను తరగతి అంతరంగా (class interval) తీసుకోండి.

ఉదాహరణ 4. సగటు కనుగొనండి.

తరగతి	మధ్య విలువ x	f	d′ = (x − 25)/10
0–10	5	6	−2
10–20	15	10	−1
20–30	25	14	0
30–40	35	12	1
40–50	45	8	2

సాధన. fd′ = −12, −10, 0, 12, 16, కాబట్టి Σfd′ = 6, N = 50. x̄ = 25 + (6 ÷ 50) × 10 = 25 + 1.2. సమాధానం: 26.2 (ప్రత్యక్ష పద్ధతి: Σfx = 1,310; 1,310 ÷ 50 = 26.2.)

2. భారిత సగటు. అంశాలు సమాన ప్రాముఖ్యం లేనివి అయినప్పుడు (వేర్వేరు క్రెడిట్‌లు గల సబ్జెక్టులు, సూచికలోని సరుకులు) దీనిని వాడండి.

ఉదాహరణ 5. ఒక విద్యార్థి మూడు పేపర్లలో 60, 75, 80 మార్కులు పొందాడు; వాటి భారాలు 2, 3, 5. భారిత సగటు కనుగొనండి. సాధన. Σwx = 120 + 225 + 400 = 745; Σw = 10. సమాధానం: 74.5 (సాధారణ సగటు 71.67 అవుతుంది).

3. సంయుక్త సగటు.

ఉదాహరణ 6. సెక్షన్ Aలో 40 మంది విద్యార్థులు, సగటు 52; సెక్షన్ Bలో 60 మంది, సగటు 47. మొత్తం 100 మంది సగటు కనుగొనండి. సాధన. (40 × 52 + 60 × 47) ÷ 100 = (2,080 + 2,820) ÷ 100. సమాధానం: 49

4. సవరించిన సగటు. మొత్తాన్ని సరిచేసి, మళ్లీ భాగించండి.

ఉదాహరణ 7. 50 పరిశీలనల (observations) సగటు 36. తర్వాత 43 ను పొరపాటున 34 గా రాశారని తెలిసింది. సరైన సగటు కనుగొనండి. సాధన. తప్పు మొత్తం 1,800. సరైన మొత్తం = 1,800 − 34 + 43 = 1,809. 1,809 ÷ 50. సమాధానం: 36.18

5. సగటు వృద్ధికి GM. వృద్ధి రేట్లు గుణకారంగా పెరుగుతాయి, కాబట్టి వాటి సగటు అంటే రేట్ల AM కాదు, వృద్ధి కారకాల (1 + r) GM.

ఉదాహరణ 8. వరుసగా మూడు సంవత్సరాల్లో ఉత్పత్తి 8%, 12%, 25% పెరిగింది. సగటు వార్షిక వృద్ధి రేటు కనుగొనండి. సాధన. కారకాలు 1.08, 1.12, 1.25; లబ్ధం = 1.512. GM = 1.512^(1/3) = 1.1478 (సంవర్గమాన మార్గం: Σ log = 0.17955, ÷ 3 = 0.05985, antilog = 1.1478). సమాధానం: సంవత్సరానికి సుమారు 14.78% (రేట్ల AM, 15%, దీనిని ఎక్కువగా చూపుతుంది).

6. సగటు వేగానికి HM.

ఉదాహరణ 9. ఒక కారు A నుంచి Bకి 60 కి.మీ./గం. వేగంతో వెళ్లి, 40 కి.మీ./గం. వేగంతో తిరిగి వస్తుంది. రెండు వైపుల ప్రయాణానికి సగటు వేగం కనుగొనండి. సాధన. దూరాలు సమానం, కాబట్టి HM వాడండి: 2 ÷ (1/60 + 1/40) = 2 ÷ (5/120). సమాధానం: 48 కి.మీ./గం. (50 కాదు).

ఉదాహరణ 10. ఒక కొనుగోలుదారు కి.గ్రా. ₹4 చొప్పున బియ్యంపై ₹100, కి.గ్రా. ₹5 చొప్పున మరో ₹100 ఖర్చు చేస్తాడు. కి.గ్రా.కు సగటు ధర కనుగొనండి. సాధన. ఖర్చు చేసిన డబ్బు సమానం, కాబట్టి HM: 2 ÷ (1/4 + 1/5) = 40/9. సమాధానం: కి.గ్రా.కు సుమారు ₹4.44 (₹200కు 25 + 20 = 45 కి.గ్రా. వస్తుంది).

7. మూడు సగటులు పక్కపక్కనే.

ఉదాహరణ 11. 2, 3, 6 లకు: AM = 11/3 = 3.67, GM = 36^(1/3) = 3.30, HM = 3. అసమాన ధన విలువలకు ఉండాల్సినట్లే AM > GM > HM క్రమం నిలుస్తుంది.

సగటు	దేనికి ఉత్తమం	ఎక్కువ ప్రాధాన్యం దేనికి	ఎప్పుడు విఫలం
AM	సమానంగా పంచే సాధారణ మొత్తాలు	పెద్ద విలువలు	తీవ్ర విలువలు దీనిని వక్రీకరిస్తాయి
GM	నిష్పత్తులు, వృద్ధి రేట్లు, సూచిక సంఖ్యలు	పెద్ద విలువలకు, AM కంటే తక్కువగా	ఏదైనా విలువ సున్నా లేదా రుణం
HM	వేగాలు, ఒక్కో యూనిట్‌కు రేట్లు (సమాన మొత్తాలు)	చిన్న విలువలు	ఏదైనా విలువ సున్నా

లోతైన విశ్లేషణ

1. AM ≥ GM ≥ HM ఎందుకు (రెండు సంఖ్యలు). (√a − √b)² ≥ 0 నుంచి a + b ≥ 2√(ab), కాబట్టి AM ≥ GM. HM = GM² ÷ AM, AM ≥ GM కాబట్టి HM ≤ GM. a = b అయినప్పుడు మాత్రమే సమానత్వం.

ఉదాహరణ 12. రెండు సంఖ్యల AM 25, HM 16. GM, ఆ సంఖ్యలు కనుగొనండి. సాధన. GM = √(25 × 16) = 20. కాబట్టి a + b = 50, ab = 400; సంఖ్యలు 40, 10 (సరిచూడండి: HM = 2 × 400 ÷ 50 = 16). సమాధానం: GM 20; సంఖ్యలు 40, 10

2. సమూహ డేటాకు GM, HM.

ఉదాహరణ 13. AM, GM, HM కనుగొనండి.

x	5	10	20	40
f	2	3	3	2

సాధన. N = 10.

AM = (10 + 30 + 60 + 80) ÷ 10 = 18.
log x = 0.6990, 1.0000, 1.3010, 1.6021; Σf log x = 11.5051; ÷ 10 = 1.15051; antilog = 14.14 (సరిగ్గా √200).
Σ(f/x) = 0.4 + 0.3 + 0.15 + 0.05 = 0.9; HM = 10 ÷ 0.9 = 11.11.

సమాధానం: AM 18, GM 14.14, HM 11.11

3. భారిత HM (అసమాన మొత్తాలు). వేర్వేరు మొత్తాలు ఖర్చు చేసినప్పుడు లేదా దూరాలు వేరైనప్పుడు, ప్రతి రేటుకు ఆ మొత్తం లేదా దూరాన్ని భారంగా ఇవ్వండి.

ఉదాహరణ 14. ఒక సరుకుపై కి.గ్రా. ₹4 చొప్పున ₹100, కి.గ్రా. ₹5 చొప్పున ₹200 ఖర్చు చేశారు. సగటు ధర కనుగొనండి. సాధన. ₹300కు పరిమాణం = 25 + 40 = 65 కి.గ్రా. భారిత HM = 300 ÷ (100/4 + 200/5). సమాధానం: కి.గ్రా.కు సుమారు ₹4.62

ఉదాహరణ 15. ఒక సైక్లిస్టు 30 కి.మీ. దూరం 30 కి.మీ./గం. వేగంతో, తర్వాత 90 కి.మీ. దూరం 45 కి.మీ./గం. వేగంతో ప్రయాణిస్తాడు. సగటు వేగం కనుగొనండి. సాధన. 120 కి.మీ.కు సమయం = 1 గం. + 2 గం. = 3 గం. సమాధానం: 40 కి.మీ./గం.

4. లోపించిన పౌనఃపున్యం.

ఉదాహరణ 16. ఈ పంపిణీ సగటు 25. p కనుగొనండి.

x	10	20	30	40
f	5	p	10	5

సాధన. (50 + 20p + 300 + 200) ÷ (20 + p) = 25 నుంచి 550 + 20p = 500 + 25p, కాబట్టి p = 10. సమాధానం: 10

5. GM ఉపయోగకర లక్షణాలు.

log GM = సంవర్గమానాల సగటు, కాబట్టి గుణకారంతో పెరిగే డేటాకు GM సరిపోతుంది.
రెండు శ్రేణుల నిష్పత్తుల GM = వాటి GMల నిష్పత్తి; అందుకే GM సూచిక టైమ్ రివర్సల్ పరీక్ష (time reversal test)ను సంతృప్తిపరుస్తుంది (సూచిక సంఖ్యలు చూడండి).
ప్రతి విలువను k తో గుణిస్తే AM, GM, HM కూడా k రెట్లు అవుతాయి; k కలిపితే AM k మేరకు మారుతుంది, కానీ GM, HM k మేరకు మారవు.

6. AM గుణాలు, పరిమితులు (పాఠ్యపుస్తక జాబితా). కచ్చితంగా నిర్వచించబడింది, అన్ని అంశాలపై ఆధారపడుతుంది, బీజగణిత ప్రక్రియలకు అనువైనది, ప్రతిచయన (sampling) హెచ్చుతగ్గులకు అతి తక్కువగా ప్రభావితమవుతుంది; కానీ తీవ్ర విలువలు దీనిని వక్రీకరిస్తాయి, ఊహలు లేకుండా ఓపెన్ ఎండ్ తరగతులకు (open-end classes) కనుగొనలేం, పరిశీలన ద్వారా గానీ గ్రాఫ్ ద్వారా గానీ గుర్తించలేం.

తరచూ చేసే పొరపాట్లు

✗ "సగటు వృద్ధి రేటు = వార్షిక రేట్ల AM." ✓ కారకాల (1 + r) GM వాడి, తర్వాత 1 తీసివేయండి.
✗ "సమాన దూరాలపై సగటు వేగం = (60 + 40)/2 = 50." ✓ HM వాడండి: 48 కి.మీ./గం.
✗ "HM ≥ GM ≥ AM." ✓ ధన విలువలకు AM ≥ GM ≥ HM.
✗ "GM² = AM + HM." ✓ రెండు సంఖ్యలకు GM² = AM × HM.
✗ "Σ(x − x̄)² సున్నా." ✓ Σ(x − x̄) = 0; Σ(x − x̄)² వర్గాల కనిష్ఠ మొత్తం.
✗ "సోపాన విచలనంలో x̄ = A + Σfd′ ÷ N." ✓ తరగతి అంతరంతో గుణించండి: x̄ = A + (Σfd′ ÷ N) × h.
✗ "సంయుక్త సగటు = రెండు సగటుల సగటు." ✓ పరిమాణాలతో భారం ఇవ్వండి: (n₁x̄₁ + n₂x̄₂) ÷ (n₁ + n₂).

త్వరిత పునశ్చరణ

AM = Σfx ÷ N; సోపాన విచలనం A + (Σfd′/N) × h.
Σ(x − x̄) = 0; A = x̄ వద్ద Σ(x − A)² కనిష్ఠం.
భారిత AM = Σwx ÷ Σw; సంయుక్త సగటు n తో భారం ఇస్తుంది.
GM = (లబ్ధం)^(1/n) = antilog (Σf log x ÷ N).
HM = N ÷ Σ(f/x).
AM ≥ GM ≥ HM; అన్ని విలువలు సమానమైతేనే సమానం.
రెండు సంఖ్యలు: GM² = AM × HM.
GM: వృద్ధి రేట్లు, నిష్పత్తులు, సూచిక సంఖ్యలు.
HM: సమాన దూరాలపై వేగాలు, సమాన ఖర్చుతో ధరలు.
సున్నా విలువ: GM గానీ HM గానీ లేవు.

Medha AI writes its own notes and checks them against the sources listed. Medha AI is an independent preparation service. It is not affiliated with, endorsed by or connected to APPSC, TGPSC (formerly TSPSC), MPSC, UPSC or any other commission or government body.