ముడి, సమూహ డేటాకు మధ్యగతం, బాహుళకం, విభాగ…

ముఖ్య వాస్తవాలు

మధ్యగతం (median), చతుర్థాంశాలు (quartiles), దశాంశకాలు (deciles), శతాంశకాలు (percentiles) స్థాన సగటులు (positional averages) (విభాగ విలువలు (partition values)); ముందుగా డేటాను (data) క్రమంలో అమర్చాలి.
విభజన బిందువుల సంఖ్య: చతుర్థాంశాలు 3 (Q₁, Q₂, Q₃), దశాంశకాలు 9, శతాంశకాలు 99.
సమానతలు: మధ్యగతం = Q₂ = D₅ = P₅₀; Q₁ = P₂₅; Q₃ = P₇₅; D₁ = P₁₀.
వ్యక్తిగత, విచ్ఛిన్న శ్రేణులు (discrete series) (పాఠ్యపుస్తక పద్ధతి):
- మధ్యగతం = ((N + 1)/2)వ అంశం పరిమాణం;
- Q₁ = ((N + 1)/4)వ అంశం, Q₃ = (3(N + 1)/4)వ అంశం;
- Dᵢ = (i(N + 1)/10)వ అంశం, Pᵢ = (i(N + 1)/100)వ అంశం;
- విచ్ఛిన్న శ్రేణిలో, స్థానానికి సమానమైన లేదా దానిని మించిన మొదటి సంచిత పౌనఃపున్యం (cumulative frequency, cf) ను కనుగొనండి.
అవిచ్ఛిన్న శ్రేణి (continuous series) (+1 లేకుండా N/2, N/4 … వాడండి):
- మధ్యగతం = l + [(N/2 − c) ÷ f] × h;
- Q₁ = l + [(N/4 − c) ÷ f] × h, Q₃ = l + [(3N/4 − c) ÷ f] × h;
- Dᵢ = l + [(iN/10 − c) ÷ f] × h, Pᵢ = l + [(iN/100 − c) ÷ f] × h;
- l = ఆ విలువ ఉన్న తరగతి దిగువ పరిమితి, c = దానికి ముందు తరగతి cf, f = దాని పౌనఃపున్యం (frequency), h = తరగతి అంతరం (class interval).
బాహుళకం (mode, Z): అత్యధిక పౌనఃపున్యం గల విలువ.
- అవిచ్ఛిన్న శ్రేణి: Z = l + [(f₁ − f₀) ÷ (2f₁ − f₀ − f₂)] × h, దీనినే l + [Δ₁ ÷ (Δ₁ + Δ₂)] × h అని కూడా రాస్తారు, Δ₁ = f₁ − f₀, Δ₂ = f₁ − f₂;
- f₁ = బాహుళక తరగతి పౌనఃపున్యం, f₀ = ముందు తరగతి, f₂ = తర్వాత తరగతి.
అనుభావిక సంబంధం (empirical relation) (కార్ల్ పియర్సన్), మితమైన వక్రత (skewness) గల డేటాకు: బాహుళకం = 3 మధ్యగతం − 2 సగటు.
గ్రాఫ్‌లు: కంటే తక్కువ, కంటే ఎక్కువ ఒగివ్‌లు (ogives) ఖండించుకునే x-విలువే మధ్యగతం (లేదా N/2 కంటే తక్కువ ఒగివ్‌ను కలిసే చోటు); బాహుళకాన్ని హిస్టోగ్రామ్ (histogram) నుంచి గుర్తిస్తారు.
ఓపెన్ ఎండ్ తరగతులకు (open-end classes) మధ్యగతం, బాహుళకం కనుగొనవచ్చు; ఊహలు లేకుండా సగటును కనుగొనలేం.
A = మధ్యగతం అయినప్పుడు Σ|x − A| కనిష్ఠం.

ఉదాహరణ 1. 15, 22, 8, 30, 19, 27, 11 ల మధ్యగతం కనుగొనండి. సాధన. క్రమంలో: 8, 11, 15, 19, 22, 27, 30. N = 7, 4వ అంశం. సమాధానం: 19

ఉదాహరణ 2. 5, 12, 7, 20, 15, 9 ల మధ్యగతం కనుగొనండి. సాధన. క్రమంలో: 5, 7, 9, 12, 15, 20. 3.5వ అంశం: (9 + 12)/2. సమాధానం: 10.5

వివరణ

1. ముడి డేటా (raw data) చతుర్థాంశాలు.

ఉదాహరణ 3. 3, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 22 లకు Q₁, మధ్యగతం, Q₃ కనుగొనండి. సాధన. N = 11 (ఇప్పటికే క్రమంలో ఉంది). Q₁ = (12/4)వ = 3వ అంశం; మధ్యగతం = 6వ అంశం; Q₃ = (36/4)వ = 9వ అంశం. సమాధానం: Q₁ = 7, మధ్యగతం = 12, Q₃ = 18

2. విచ్ఛిన్న శ్రేణి.

ఉదాహరణ 4. మధ్యగతం, Q₁, Q₃, బాహుళకం కనుగొనండి.

x	10	20	30	40	50
f	4	7	12	9	8
cf	4	11	23	32	40

సాధన. N = 40.

మధ్యగతం: (41/2) = 20.5వ అంశం; 20.5 కు సమానమైన లేదా మించిన మొదటి cf 23 → 30.
Q₁: (41/4) = 10.25వ అంశం; 10.25 కు సమానమైన లేదా మించిన మొదటి cf 11 → 20.
Q₃: 3 × 41/4 = 30.75వ అంశం; 30.75 కు సమానమైన లేదా మించిన మొదటి cf 32 → 40.
బాహుళకం: అత్యధిక పౌనఃపున్యం 12 → 30.

3. అవిచ్ఛిన్న శ్రేణి: ఒకే పట్టిక, అన్ని కొలతలు.

ఉదాహరణ 5.

తరగతి	f	cf
0–10	5	5
10–20	8	13
20–30	15	28
30–40	20	48
40–50	12	60
50–60	10	70

N = 70 (ఈ పట్టిక సగటు 33).

కొలత	స్థానం	తరగతి (l, c, f)	విలువ
మధ్యగతం	N/2 = 35	30–40 (30, 28, 20)	30 + (7/20) × 10 = 33.5
Q₁	N/4 = 17.5	20–30 (20, 13, 15)	20 + (4.5/15) × 10 = 23
Q₃	3N/4 = 52.5	40–50 (40, 48, 12)	40 + (4.5/12) × 10 = 43.75
D₇	7N/10 = 49	40–50 (40, 48, 12)	40 + (1/12) × 10 = 40.83
P₉₀	90N/100 = 63	50–60 (50, 60, 10)	50 + (3/10) × 10 = 53

బాహుళకం: బాహుళక తరగతి 30–40 (f₁ = 20, f₀ = 15, f₂ = 12). Z = 30 + [5 ÷ (40 − 27)] × 10 = 30 + 3.85. సమాధానం: సుమారు 33.85 సరిచూడండి: 3 × 33.5 − 2 × 33 = 34.5, ఇది 33.85 కు దగ్గరగా ఉంది; దాదాపు సౌష్ఠవ డేటాకు ఇది ఊహించినదే.

4. అనుభావిక సంబంధం.

ఉదాహరణ 6. మితమైన వక్రత గల పంపిణీలో సగటు 52, బాహుళకం 46. మధ్యగతం కనుగొనండి. సాధన. మధ్యగతం = (2 సగటు + బాహుళకం) ÷ 3 = (104 + 46) ÷ 3. సమాధానం: 50

5. బాహుళక తరగతి మొదటి తరగతి అయినప్పుడు బాహుళకం. దానికి ముందు లేని తరగతి పౌనఃపున్యాన్ని 0 గా తీసుకోండి.

ఉదాహరణ 7. తరగతులు 0–20, 20–40, 40–60, పౌనఃపున్యాలు 30, 20, 10. బాహుళకం కనుగొనండి. సాధన. f₁ = 30, f₀ = 0, f₂ = 20. Z = 0 + [30 ÷ (60 − 0 − 20)] × 20. సమాధానం: 15

లక్షణం	మధ్యగతం	బాహుళకం
రకం	స్థాన సగటు	అత్యధికంగా వచ్చే విలువ
ఓపెన్ ఎండ్ తరగతులు	కనుగొనవచ్చు	కనుగొనవచ్చు
దేనికి ఉత్తమం	వక్రత గల డేటా (ఆదాయాలు, వేతనాలు)	సాధారణంగా ఎక్కువగా ఉండే పరిమాణం, ఫ్యాషన్, గుణాత్మక డేటా
బలహీనత	తీవ్ర అంశాల పరిమాణాన్ని పట్టించుకోదు	అస్పష్టంగా లేదా ద్విబాహుళకంగా ఉండవచ్చు

లోతైన విశ్లేషణ

1. కలుపుకొనే తరగతులు (inclusive classes). ఏ సూత్రం వాడే ముందైనా వాటిని మినహాయించే (exclusive) వాస్తవ తరగతి పరిమితులుగా (class limits) మార్చండి: దిగువ పరిమితుల నుంచి అంతరంలో సగం (ఇక్కడ 0.5) తీసివేసి, ఎగువ పరిమితులకు కలపండి.

ఉదాహరణ 8. మధ్యగతం, బాహుళకం కనుగొనండి.

తరగతి	10–19	20–29	30–39	40–49
f	6	14	10	5

సాధన. వాస్తవ తరగతులు 9.5–19.5, 19.5–29.5, … N = 35, N/2 = 17.5, మధ్యగత తరగతి 19.5–29.5 (c = 6, f = 14).

మధ్యగతం = 19.5 + (11.5/14) × 10 = 27.71.
బాహుళకం = 19.5 + [8 ÷ (28 − 6 − 10)] × 10 = 26.17.

l గా 19.5 కు బదులు 20 వాడడం తరచూ జరిగే పొరపాటు, దానివల్ల సమాధానం తప్పు వస్తుంది.

2. ఇచ్చిన మధ్యగతం నుంచి లోపించిన పౌనఃపున్యం.

ఉదాహరణ 9. ఈ పంపిణీ మధ్యగతం 27. p కనుగొనండి.

తరగతి	0–10	10–20	20–30	30–40	40–50
f	5	p	20	15	5

సాధన. N = 45 + p. మధ్యగతం 27, 20–30 లో ఉంది, కాబట్టి c = 5 + p, f = 20. 27 = 20 + [((45 + p)/2 − (5 + p)) ÷ 20] × 10 నుంచి 14 = (35 − p)/2, కాబట్టి p = 7 (N = 52; సరిచూడండి: 20 + (26 − 12)/20 × 10 = 27). సమాధానం: 7

3. అస్పష్ట బాహుళకం. రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ విలువలకు అత్యధిక పౌనఃపున్యం ఒకటే అయినప్పుడు, లేదా అత్యధిక పౌనఃపున్యం చివరల దగ్గర ఉన్నప్పుడు, బాహుళకాన్ని సమూహన పద్ధతి (grouping method) ద్వారా గుర్తిస్తారు (పౌనఃపున్యాలను రెండేసి, మూడేసి కలుపుతారు; సమూహన పట్టికలో ఎక్కువసార్లు వచ్చే విలువే బాహుళకం); అదీ కుదరకపోతే అనుభావిక సంబంధం ద్వారా కనుగొంటారు.

4. అసమాన తరగతి అంతరాలు. బాహుళక సూత్రం వాడే ముందు, పౌనఃపున్యాలను ఒకే అంతరానికి సర్దుబాటు చేయండి (పౌనఃపున్య సాంద్రత), ఎందుకంటే వెడల్పైన తరగతి కేవలం వెడల్పుగా ఉన్నందుకే ఎక్కువ అంశాలను సేకరిస్తుంది.

5. గ్రాఫ్ ద్వారా గుర్తించడం.

కంటే తక్కువ ఒగివ్: ఎగువ పరిమితులకు ఎదురుగా cf ని గుర్తించండి; మధ్యగతానికి N/2 ఎత్తు వద్ద, Q₁ కు N/4 వద్ద, Q₃ కు 3N/4 వద్ద x-విలువను చదవండి.
రెండు ఒగివ్‌లు మధ్యగతం వద్ద ఖండించుకుంటాయి.
హిస్టోగ్రామ్: బాహుళక దీర్ఘచతురస్రం పై కుడి మూలను దాని ముందు దీర్ఘచతురస్రం పై కుడి మూలతో, బాహుళక దీర్ఘచతురస్రం పై ఎడమ మూలను దాని తర్వాతి దీర్ఘచతురస్రం పై ఎడమ మూలతో కలపండి; ఈ రేఖలు ఖండించుకునే చోటు నుంచి x-అక్షం మీదకు లంబం గీయండి; దాని పాదమే బాహుళకం.

6. విభాగ విలువల ఉపయోగాలు. చతుర్థాంశాల నుంచి చతుర్థాంశ విచలనం (quartile deviation) (Q₃ − Q₁)/2, బౌలీ వక్రతా ప్రమాణం (Bowley's measure of skewness) వస్తాయి; పోటీ పరీక్షల ర్యాంకులకు, వృద్ధి చార్టులకు శతాంశకాలు వాడతారు (90వ శతాంశకం అంటే 90% మంది ఆ విలువ లేదా అంతకంటే తక్కువ స్కోరు చేశారు).

తరచూ చేసే పొరపాట్లు

✗ "15, 22, 8, 30, 19 ల మధ్యగతం 8, రాసిన క్రమంలో మధ్యలో ఉన్న విలువ." ✓ ముందుగా క్రమంలో అమర్చండి: మధ్యగతం 19.
✗ "సమూహ మధ్యగత సూత్రంలో c అంటే మధ్యగత తరగతి cf." ✓ c అంటే దానికి ముందు తరగతి cf.
✗ "బాహుళకం = 3 సగటు − 2 మధ్యగతం." ✓ బాహుళకం = 3 మధ్యగతం − 2 సగటు.
✗ "4 చతుర్థాంశాలు, 10 దశాంశకాలు ఉంటాయి." ✓ 3 చతుర్థాంశాలు, 9 దశాంశకాలు, 99 శతాంశకాలు.
✗ "అవిచ్ఛిన్న శ్రేణిలో మధ్యగత తరగతిని (N + 1)/2 వద్ద కనుగొంటారు." ✓ అవిచ్ఛిన్న శ్రేణికి N/2 వాడండి.
✗ "కలుపుకొనే తరగతి 20–29 కి l = 20." ✓ వాస్తవ పరిమితి 19.5 వాడండి.
✗ "కంటే తక్కువ ఒగివ్ x-అక్షాన్ని కలిసే చోట మధ్యగతం ఉంటుంది." ✓ రెండు ఒగివ్‌లు ఖండించుకునే చోట ఉంటుంది.

త్వరిత పునశ్చరణ

ముందుగా డేటాను క్రమంలో అమర్చండి: స్థాన సగటులు.
ముడి/విచ్ఛిన్న: మధ్యగతం (N + 1)/2 వ, Q₁ (N + 1)/4 వ, Q₃ 3(N + 1)/4 వ అంశం.
అవిచ్ఛిన్న: l + [(స్థానం − c)/f] × h, స్థానం N/2, N/4, 3N/4, iN/10, iN/100.
మధ్యగతం = Q₂ = D₅ = P₅₀.
3 చతుర్థాంశాలు, 9 దశాంశకాలు, 99 శతాంశకాలు.
బాహుళకం = l + [(f₁ − f₀)/(2f₁ − f₀ − f₂)] × h.
బాహుళకం = 3 మధ్యగతం − 2 సగటు.
ఒగివ్‌లు మధ్యగతం వద్ద ఖండించుకుంటాయి; హిస్టోగ్రామ్ బాహుళకాన్ని ఇస్తుంది.
కలుపుకొనే తరగతులు: వాస్తవ పరిమితులుగా మార్చండి.
ఓపెన్ ఎండ్ తరగతులతో మధ్యగతం, బాహుళకం పనిచేస్తాయి.

Medha AI writes its own notes and checks them against the sources listed. Medha AI is an independent preparation service. It is not affiliated with, endorsed by or connected to APPSC, TGPSC (formerly TSPSC), MPSC, UPSC or any other commission or government body.