వర్గీకరణ, పౌనఃపున్య పంపిణీ, పట్టికీకరణ…

ముఖ్య వాస్తవాలు

వర్గీకరణ: ఉమ్మడి లక్షణాల ఆధారంగా డేటాను సమూహాలుగా అమర్చడం.
నాలుగు ఆధారాలు: ప్రాంతీయ (geographical) (స్థలం ప్రకారం), కాలానుక్రమ (chronological) (కాలం ప్రకారం), గుణాత్మక (qualitative) (లక్షణం ప్రకారం: లింగం, అక్షరాస్యత), పరిమాణాత్మక (quantitative) (చరరాశి పరిమాణం ప్రకారం: మార్కులు, ఆదాయం).
చరరాశి (variable): విచ్ఛిన్న (discrete) (పూర్ణ విలువలు: పిల్లల సంఖ్య) లేదా అవిచ్ఛిన్న (continuous) (ఒక పరిధిలో ఏ విలువైనా: ఎత్తు, బరువు).
పౌనఃపున్యం (frequency) = ఒక విలువ లేదా తరగతి ఎన్నిసార్లు వచ్చిందో ఆ సంఖ్య.
తరగతి పరిమితులు (class limits): దిగువ, ఎగువ పరిమితి; తరగతి అంతరం (class interval) (వెడల్పు) = ఎగువ − దిగువ (నిజ పరిమితులు).
తరగతి మార్కు (class mark) (మధ్య విలువ) = (దిగువ పరిమితి + ఎగువ పరిమితి) ÷ 2.
మినహాయింపు పద్ధతి (exclusive method): 10–20, 20–30 (ఎగువ పరిమితి మినహాయిస్తారు; 20 అనేది 20–30 లోకి వెళ్తుంది). సమ్మిళిత పద్ధతి (inclusive method): 10–19, 20–29 (రెండు పరిమితులూ చేర్చుతారు).
స్టర్జెస్ నియమం (Sturges' rule): తరగతుల సంఖ్య k = 1 + 3.322 log₁₀ N.
సంచిత పౌనఃపున్యం (cumulative frequency): "కంటే తక్కువ" (less than) (పై నుంచి కూడుతుంది), "కంటే ఎక్కువ" (more than) (కింది నుంచి కూడుతుంది).
పట్టిక భాగాలు: పట్టిక సంఖ్య, శీర్షిక (title), హెడ్ నోట్ (head note), క్యాప్షన్లు (captions) (నిలువు వరుసల శీర్షికలు), స్టబ్‌లు (stubs) (అడ్డు వరుసల శీర్షికలు), పట్టిక దేహం (body), ఫుట్ నోట్ (foot note), ఆధార సూచిక (source note).
ఏకమితీయ రేఖాచిత్రాలు: బార్ డయాగ్రామ్‌లు (bar diagram) (సరళ, బహుళ, ఉపవిభజన/అంశ, శాతం). ద్విమితీయ: దీర్ఘచతురస్రాలు, చతురస్రాలు, వృత్తాలు, పై రేఖా చిత్రం (pie diagram). త్రిమితీయ: ఘనాలు, స్థూపాలు. ఇంకా పిక్టోగ్రామ్‌లు (pictograms), కార్టోగ్రామ్‌లు (cartograms) (పటాలు).
పై రేఖా చిత్రం: ఒక అంశం కోణం = (అంశం ÷ మొత్తం) × 360°.
పౌనఃపున్య పంపిణీల గ్రాఫ్‌లు: హిస్టోగ్రామ్ (histogram), పౌనఃపున్య బహుభుజి (frequency polygon), పౌనఃపున్య వక్రరేఖ (frequency curve), ఒగివ్ (ogive) (సంచిత పౌనఃపున్య వక్రరేఖ).
హిస్టోగ్రామ్ = తరగతి అంతరాలపై పక్కపక్కనే ఆనుకుని ఉండే దీర్ఘచతురస్రాలు; వైశాల్యం ∝ పౌనఃపున్యం.
ఒగివ్‌లు: "కంటే తక్కువ", "కంటే ఎక్కువ" ఒగివ్‌లు మధ్యగతం (median) వద్ద ఖండించుకుంటాయి.

వివరణ

1. పౌనఃపున్య పంపిణీ తయారీ.

20 మంది విద్యార్థుల మార్కులు: 12, 25, 37, 8, 41, 19, 33, 27, 15, 46, 22, 30, 38, 11, 29, 24, 35, 17, 43, 26.

మార్కులు	పౌనఃపున్యం	"కంటే తక్కువ" సంచిత పౌనఃపున్యం	"కంటే ఎక్కువ" సంచిత పౌనఃపున్యం
0–10	1	1 (10 కంటే తక్కువ)	20 (0, ఆపైన)
10–20	5	6 (20 కంటే తక్కువ)	19 (10, ఆపైన)
20–30	6	12 (30 కంటే తక్కువ)	14 (20, ఆపైన)
30–40	5	17 (40 కంటే తక్కువ)	8 (30, ఆపైన)
40–50	3	20 (50 కంటే తక్కువ)	3 (40, ఆపైన)

తరగతి మార్కులు: 5, 15, 25, 35, 45. వెడల్పు: 10. (మినహాయింపు తరగతులు: 30 అనేది 30–40 లోకి వెళ్తుంది.)

2. సమ్మిళితం నుంచి మినహాయింపుకు. 10–19, 20–29, … కు: సవరణ = (20 − 19)/2 = 0.5. దిగువ పరిమితుల నుంచి 0.5 తీసివేసి, ఎగువ పరిమితులకు 0.5 కలపండి: 9.5–19.5, 19.5–29.5. హిస్టోగ్రామ్ గీయడానికి లేదా మధ్యగతం కనుగొనడానికి ముందే ఇలా చేయాలి.

ఉదాహరణ 1. N = 100 కు స్టర్జెస్ నియమం ద్వారా తరగతుల సంఖ్య కనుగొనండి. సాధన. log₁₀ 100 = 2; k = 1 + 3.322 × 2 = 7.644. సమాధానం: సుమారు 8 తరగతులు

3. మంచి వర్గీకరణ: తరగతులు పూర్ణంగా ఉండాలి (ప్రతి అంశం ఏదో తరగతిలో చేరాలి), పరస్పర వివర్జితంగా ఉండాలి (ఏ అంశమూ రెండు తరగతుల్లో ఉండకూడదు), వీలైనంత వరకు సమాన వెడల్పులు, వీలైనంత వరకు ఓపెన్ ఎండ్ తరగతులు (open-end class) ("10 కంటే తక్కువ", "60, ఆపైన") ఉండకూడదు, సుమారు 5–15 తరగతులు.

4. పట్టికల రకాలు. సరళ (ఒక లక్షణం), ద్వంద్వ (రెండు), సంక్లిష్ట / బహుముఖ (మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ); సాధారణ ప్రయోజన (సంప్రదింపు) పట్టికలు, ప్రత్యేక ప్రయోజన (సారాంశ) పట్టికలు.

5. పై రేఖా చిత్రం.

ఉదాహరణ 2. ఒక కుటుంబం నెలవారీ ఖర్చు: ఆహారం ₹4,800, అద్దె ₹2,400, విద్య ₹1,800, ఇతరాలు ₹3,000. పై కోణాలు కనుగొనండి. సాధన. మొత్తం ₹12,000. ఆహారం 4,800/12,000 × 360 = 144°; అద్దె 72°; విద్య 54°; ఇతరాలు 90°. సమాధానం: 144°, 72°, 54°, 90° (మొత్తం 360°)

6. ఏ సందర్భంలో ఏ రేఖాచిత్రం.

అవసరం	రేఖాచిత్రం
ఒకే అంశం మొత్తాలను పోల్చడం	సరళ బార్
రెండు లేదా ఎక్కువ అంశాలను పక్కపక్కనే పోల్చడం	బహుళ కడ్డీ రేఖాచిత్రం
మొత్తంలోని భాగాలను చూపడం	ఉపవిభజన బార్ లేదా పై
సంవత్సరాల వారీగా వాటాలను పోల్చడం	శాతం బార్

బార్‌లకు సమాన వెడల్పు, సమాన ఖాళీలు ఉంటాయి; పొడవు మాత్రమే అర్థాన్ని ఇస్తుంది. బార్‌లు నిలువుగా లేదా అడ్డంగా ఉండవచ్చు.

7. పౌనఃపున్య పంపిణీ గ్రాఫ్‌లు.

హిస్టోగ్రామ్: x-అక్షంపై తరగతి అంతరాలు, ఒకదానికొకటి ఆనుకుని ఉండే దీర్ఘచతురస్రాలు; సమాన తరగతులకు ఎత్తు = పౌనఃపున్యం.
పౌనఃపున్య బహుభుజి: హిస్టోగ్రామ్ దీర్ఘచతురస్రాల పైభాగాల మధ్య బిందువులను కలపండి (లేదా తరగతి మార్కులకు ఎదురుగా పౌనఃపున్యాలను గుర్తించండి), రెండు చివర్లలోని ఖాళీ తరగతుల మధ్య బిందువుల వద్ద x-అక్షంపై మూసివేయండి; తరగతి వెడల్పులు సమానమైతే దాని వైశాల్యం హిస్టోగ్రామ్ వైశాల్యానికి సమానం.
పౌనఃపున్య వక్రరేఖ: నునుపు చేసిన పౌనఃపున్య బహుభుజి.
ఒగివ్: "కంటే తక్కువ" సంచిత పౌనఃపున్యాన్ని ఎగువ పరిమితులకు ఎదురుగా, "కంటే ఎక్కువ" సంచిత పౌనఃపున్యాన్ని దిగువ పరిమితులకు ఎదురుగా గుర్తించండి.

ఉదాహరణ 3. పై మార్కుల పట్టికలో ఒగివ్‌ల నుంచి మధ్యగతం కనుగొనండి (పాఠ్యపుస్తకాలు అంతర్వేశనం చేసినట్లు). సాధన. N/2 = 10 అనేది 20–30 లో ఉంది (ముందరి సంచిత పౌనఃపున్యం 6, f = 6). మధ్యగతం = 20 + (10 − 6)/6 × 10 = 26.67. సమాధానం: సుమారు 26.67 (రెండు ఒగివ్‌లు ఖండించుకునే x-విలువ)

లోతైన విశ్లేషణ

అసమాన తరగతి వెడల్పులు. హిస్టోగ్రామ్‌లో ఎత్తు కాదు, వైశాల్యం పౌనఃపున్యాన్ని చూపుతుంది. పౌనఃపున్య సాంద్రత (frequency density) = పౌనఃపున్యం ÷ వెడల్పు వాడండి (లేదా ప్రామాణిక వెడల్పుకు సర్దుబాటు చేయండి).

ఉదాహరణ 4. తరగతులు 0–10 (f 5), 10–20 (f 8), 20–40 (f 20), 40–60 (f 6). వెడల్పు 10 ఆధారంగా ఎత్తులు కనుగొనండి. సాధన. వెడల్పులు 10, 10, 20, 20. ఎత్తులు 5, 8, 20/2 = 10, 6/2 = 3. సమాధానం: 5, 8, 10, 3 (20, 6 ను నేరుగా గుర్తిస్తే వెడల్పాటి తరగతుల వైశాల్యం రెట్టింపు అవుతుంది.)

గ్రాఫ్‌ల ఉపయోగాలు.

హిస్టోగ్రామ్: బాహుళకం (mode) కనుగొనడం (ఎత్తైన దీర్ఘచతురస్రం మూలలను పక్క దీర్ఘచతురస్రాల మూలలతో కలపడం ద్వారా).
ఒగివ్: మధ్యగతం, చతుర్థాంశాలు (quartiles), దశాంశకాలు (deciles), శతాంశకాలు (percentiles) గ్రాఫ్ ద్వారా కనుగొనడం (N/4, N/2, 3N/4 వద్ద x ను చదవండి).
లారెంజ్ వక్రరేఖ (Lorenz curve): జనాభా సంచిత % కు ఎదురుగా ఆదాయ సంచిత %; సమాన పంపిణీ రేఖ (line of equal distribution) (45° రేఖ) నుంచి ఎంత దూరంగా ఉంటే అంత ఎక్కువ అసమానత (గినీ గుణకం (Gini coefficient) దీని ఆధారంగానే).
ఒక వెడల్పును ఊహించకుండా ఓపెన్ ఎండ్ తరగతులకు హిస్టోగ్రామ్‌లు, బహుభుజులు గీయడం సాధ్యం కాదు.

రేఖాచిత్రాలు, గ్రాఫ్‌ల మధ్య తేడా.

అంశం	రేఖాచిత్రం	గ్రాఫ్
గీసేది	సాధారణ కాగితంపై	గ్రాఫ్ పేపర్‌పై
ఉపయోగం	పోలిక, ఆకర్షణీయ ప్రదర్శన	పౌనఃపున్య పంపిణీలు, కాల శ్రేణులు, సంబంధాలు
కచ్చితత్వం	సుమారు	విలువలు చదవవచ్చు (మధ్యగతం, బాహుళకం)

కాల శ్రేణి (time series) గ్రాఫ్ (హిస్టోరిగ్రామ్ (historigram)). x-అక్షంపై కాలం, y-అక్షంపై విలువలు; విలువలు సున్నాకు చాలా దూరంగా ఉన్నప్పుడు కృత్రిమ ఆధార రేఖ (false base line) (విరిగిన y-అక్షం) వాడతారు; నిష్పత్తి (సెమీ-లాగ్) స్కేలు (ratio scale) మార్పు రేట్లను చూపుతుంది.

ఉదాహరణ 5. ఏ జత సరిగ్గా జతపరచబడింది? (a) ఒగివ్ – బాహుళకం (b) హిస్టోగ్రామ్ – మధ్యగతం (c) ఒగివ్ – మధ్యగతం (d) పై రేఖా చిత్రం – అవిచ్ఛిన్న చరరాశి పౌనఃపున్య పంపిణీ సాధన. ఒగివ్‌లు మధ్యగతాన్ని (చతుర్థాంశాలను కూడా) ఇస్తాయి; హిస్టోగ్రామ్ బాహుళకాన్ని ఇస్తుంది. సమాధానం: (c)

తరచూ చేసే పొరపాట్లు

✗ "హిస్టోగ్రామ్‌లో ఎత్తు ఎప్పుడూ పౌనఃపున్యాన్ని చూపుతుంది." ✓ వైశాల్యం పౌనఃపున్యాన్ని చూపుతుంది; అసమాన వెడల్పులకు పౌనఃపున్య సాంద్రత వాడాలి.
✗ "బార్ డయాగ్రామ్‌లో బార్‌లు ఒకదానికొకటి ఆనుకుని ఉంటాయి." ✓ బార్ డయాగ్రామ్‌లలో ఖాళీలు ఉంటాయి; హిస్టోగ్రామ్ దీర్ఘచతురస్రాలు ఆనుకుని ఉంటాయి.
✗ "ఒగివ్‌లు బాహుళకం వద్ద ఖండించుకుంటాయి." ✓ అవి మధ్యగతం వద్ద ఖండించుకుంటాయి.
✗ "'కంటే తక్కువ' ఒగివ్‌ను దిగువ పరిమితుల వద్ద గుర్తిస్తారు." ✓ "కంటే తక్కువ" ఎగువ పరిమితుల వద్ద; "కంటే ఎక్కువ" దిగువ పరిమితుల వద్ద.
✗ "పై కోణం = అంశం/మొత్తం × 100." ✓ × 360° (× 100 శాతాన్ని ఇస్తుంది).
✗ "స్టబ్‌లు నిలువు వరుసల శీర్షికలు." ✓ క్యాప్షన్లు నిలువు వరుసలకు శీర్షికలు; స్టబ్‌లు అడ్డు వరుసలకు శీర్షికలు.
✗ "10–20, 20–30 లో విలువ 20 అనేది 10–20 లోకి వెళ్తుంది." ✓ మినహాయింపు పద్ధతిలో అది 20–30 లోకి వెళ్తుంది.
✗ "స్టర్జెస్: k = 1 + 3.322 log N లో సహజ సంవర్గమానం." ✓ సంవర్గమానం ఆధారం 10.

త్వరిత పునశ్చరణ

వర్గీకరణ ఆధారాలు: ప్రాంతీయ, కాలానుక్రమ, గుణాత్మక, పరిమాణాత్మక.
తరగతి మార్కు = (దిగువ + ఎగువ)/2; వెడల్పు = ఎగువ − దిగువ.
మినహాయింపు 10–20, 20–30; సమ్మిళిత 10–19, 20–29 (±0.5 తో సవరించాలి).
స్టర్జెస్: k = 1 + 3.322 log₁₀ N.
పట్టిక భాగాలు: సంఖ్య, శీర్షిక, హెడ్ నోట్, క్యాప్షన్లు (నిలువు వరుసలు), స్టబ్‌లు (అడ్డు వరుసలు), పట్టిక దేహం, ఫుట్ నోట్, ఆధారం.
పై కోణం = వాటా × 360°.
హిస్టోగ్రామ్: ఆనుకుని ఉండే దీర్ఘచతురస్రాలు, వైశాల్యం ∝ పౌనఃపున్యం; బాహుళకాన్ని ఇస్తుంది.
పౌనఃపున్య బహుభుజి తరగతి మార్కు బిందువులను కలుపుతుంది, రెండు చివర్లా మూసి ఉంటుంది.
"కంటే తక్కువ" ఒగివ్ ఎగువ పరిమితుల వద్ద; ఒగివ్‌లు మధ్యగతం వద్ద ఖండించుకుంటాయి.
లారెంజ్ వక్రరేఖ 45° రేఖతో పోల్చి అసమానతను చూపుతుంది.

Medha AI writes its own notes and checks them against the sources listed. Medha AI is an independent preparation service. It is not affiliated with, endorsed by or connected to APPSC, TGPSC (formerly TSPSC), MPSC, UPSC or any other commission or government body.