సంభావ్యత: సాంప్రదాయ, సాపేక్ష పౌనఃపున్య…

ముఖ్య వాస్తవాలు

యాదృచ్ఛిక ప్రయోగం (random experiment): ఫలితం అనిశ్చితం, కానీ సాధ్యమయ్యే అన్ని ఫలితాలు ముందే తెలుసు (నాణెం ఎగురవేయడం).
నమూనా ఆవరణం (sample space) (S): సాధ్యమయ్యే అన్ని ఫలితాల సమితి. ఘటన: S యొక్క ఉపసమితి.
సమసంభవ (equally likely): ఏ ఫలితానికీ ప్రాధాన్యం ఉండదు. పరస్పర వివర్జిత (mutually exclusive): కలిసి జరగలేవు (A ∩ B = ∅). పూర్ణ (exhaustive): అన్నీ కలిసి అన్ని ఫలితాలను కవర్ చేస్తాయి.
స్వతంత్ర ఘటనలు (independent events): ఒకటి జరగడం మరొక దాని అవకాశాన్ని మార్చదు: P(A ∩ B) = P(A) P(B).
సాంప్రదాయ (a priori) నిర్వచనం (లాప్లాస్ (Laplace)): P(A) = m/n = అనుకూల ఫలితాలు ÷ మొత్తం సమసంభవ, పరస్పర వివర్జిత, పూర్ణ ఫలితాలు.
సాపేక్ష పౌనఃపున్య (relative frequency) (అనుభవ) నిర్వచనం (వాన్ మిసెస్ (von Mises)): P(A) = ప్రయత్నాల సంఖ్య n → ∞ అయినప్పుడు m/n యొక్క అవధి.
స్వయంసిద్ధ (axiomatic) నిర్వచనం (ఎ.ఎన్. కోల్మోగోరోవ్ (A.N. Kolmogorov), 1933):
1. ప్రతి ఘటన A కి P(A) ≥ 0;
2. P(S) = 1;
3. పరస్పర వివర్జిత ఘటనలకు P(A ∪ B ∪ …) = P(A) + P(B) + ….
పరిధి (range): 0 ≤ P(A) ≤ 1. పూరక ఘటన (complement): P(A′) = 1 − P(A). P(∅) = 0.
A కి అనుకూల నిష్పత్తి (odds in favour) = a : b అయితే P(A) = a/(a + b); ప్రతికూల నిష్పత్తి (odds against) = b : a.
సంకలన సిద్ధాంతం (addition theorem):
- పరస్పర వివర్జిత ఘటనలకు: P(A ∪ B) = P(A) + P(B);
- ఏవైనా రెండు ఘటనలకు: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
గుణకార సిద్ధాంతం (multiplication theorem):
- స్వతంత్ర ఘటనలకు: P(A ∩ B) = P(A) × P(B);
- సాధారణంగా: P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A).
నియత సంభావ్యత (conditional probability): P(B | A) = P(A ∩ B) ÷ P(A), ఇక్కడ P(A) > 0.

వివరణ

1. మూడు నిర్వచనాలు ఎందుకు.

నిర్వచనం	భావన	పరిమితి
సాంప్రదాయ	సమసంభవ ఫలితాలను లెక్కించడం	ఫలితాలు సమసంభవం కానప్పుడు లేదా అనంతమైనప్పుడు పనిచేయదు
సాపేక్ష పౌనఃపున్యం	దీర్ఘకాల నిష్పత్తి	పదే పదే ప్రయత్నాలు అవసరం; అవధిని గమనించలేకపోవచ్చు
స్వయంసిద్ధ	ఏ సంభావ్యత అయినా పాటించాల్సిన నియమాలు	విలువను ఎలా కనుగొనాలో చెప్పదు

2. ప్రామాణిక లెక్కలు. నాణెం: 2 ఫలితాలు; పాచిక: 6; రెండు పాచికలు: 36; మూడు నాణేలు: 8; పేక ముక్కల కట్ట: 52 (13 చొప్పున 4 సూట్లు; 12 బొమ్మ ముక్కలు; 4 ఏస్‌లు; 26 ఎరుపు).

ఉదాహరణ 1. రెండు పాచికలు వేశారు. మొత్తం 7 వచ్చే సంభావ్యత కనుగొనండి. సాధన. అనుకూల జతలు (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) = 36 లో 6. సమాధానం: 1/6

ఉదాహరణ 2. 52 ముక్కల కట్ట నుంచి ఒక ముక్క తీశారు. P(రాజు లేదా హార్ట్) కనుగొనండి. సాధన. ఇవి పరస్పర వివర్జితం కావు (హార్ట్ రాజు). 4/52 + 13/52 − 1/52 = 16/52. సమాధానం: 4/13

ఉదాహరణ 3. మూడు నాణేలు ఎగురవేశారు. P(కనీసం ఒక బొమ్మ) కనుగొనండి. సాధన. P(ఒక్క బొమ్మ కూడా రాకపోవడం) = 1/8, కాబట్టి 1 − 1/8. సమాధానం: 7/8

ఉదాహరణ 4. ఒక ఘటనకు అనుకూల నిష్పత్తి 3 : 5. దాని సంభావ్యత కనుగొనండి. సాధన. 3/(3 + 5). సమాధానం: 3/8

3. స్వతంత్ర ఘటనలు.

ఉదాహరణ 5. P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, A, B స్వతంత్రం. P(A ∪ B) కనుగొనండి. సాధన. P(A ∩ B) = 0.2. 0.5 + 0.4 − 0.2. సమాధానం: 0.7 (సరిచూడండి: 1 − P(A′)P(B′) = 1 − 0.5 × 0.6 = 0.7.)

ఉదాహరణ 6. ఒక సమస్యను ముగ్గురు విద్యార్థులకు ఇచ్చారు; వారు దానిని సాధించే అవకాశాలు 1/2, 1/3, 1/4. సమస్య సాధించబడే సంభావ్యత కనుగొనండి. సాధన. P(ఎవరూ సాధించకపోవడం) = (1/2)(2/3)(3/4) = 1/4. సాధించబడటం = 1 − 1/4. సమాధానం: 3/4

4. ఆధారిత ఘటనలు (తిరిగి పెట్టకుండా).

ఉదాహరణ 7. రెండు ముక్కలను ఒకదాని తర్వాత ఒకటి తిరిగి పెట్టకుండా తీశారు. P(రెండూ ఏస్‌లు) కనుగొనండి. సాధన. (4/52) × (3/51) = 12/2652. సమాధానం: 1/221

లోతైన విశ్లేషణ

పరస్పర వివర్జితం అంటే స్వతంత్రం కాదు. P(A) > 0, P(B) > 0 అయి A, B పరస్పర వివర్జితం అయితే P(A ∩ B) = 0 ≠ P(A)P(B): అవి ఆధారిత ఘటనలు (ఒకటి జరిగితే మరొకటి జరగదు).

మూడు ఘటనలు (సంకలనం): P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) − P(B ∩ C) − P(A ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C).

A, B స్వతంత్రమైతే, A, B′ కూడా; A′, B కూడా; A′, B′ కూడా స్వతంత్రమే.

బేయీస్ సిద్ధాంతం (Bayes' theorem). E₁, …, Eₙ పరస్పర వివర్జిత, పూర్ణ ఘటనలై A ఏదైనా ఘటన అయితే, P(Eᵢ | A) = P(Eᵢ) P(A | Eᵢ) ÷ Σ P(Eⱼ) P(A | Eⱼ). ఇది సాక్ష్యం A తర్వాత పూర్వ (prior) సంభావ్యతలను అనంతర (posterior) సంభావ్యతలుగా సవరిస్తుంది.

ఉదాహరణ 8. పాత్ర I లో 3 తెలుపు, 2 నలుపు బంతులు; పాత్ర II లో 2 తెలుపు, 3 నలుపు బంతులు ఉన్నాయి. యాదృచ్ఛికంగా ఒక పాత్రను ఎంచుకుని తీసిన బంతి తెలుపు. P(అది పాత్ర I నుంచి వచ్చింది) కనుగొనండి. సాధన. లవం 0.5 × 3/5 = 0.3. హారం 0.3 + 0.5 × 2/5 = 0.5. 0.3/0.5. సమాధానం: 3/5 (0.6)

ఉదాహరణ 9. యాదృచ్ఛికంగా ఎంచుకున్న లీపు సంవత్సరంలో 53 ఆదివారాలు ఉండే సంభావ్యత కనుగొనండి. సాధన. 366 రోజులు = 52 వారాలు + 2 రోజులు. అదనపు 2 రోజులు 7 సమసంభవ జతలలో ఒకటి (ఆది–సోమ, సోమ–మంగళ, …, శని–ఆది); వాటిలో 2 జతలలో ఆదివారం ఉంది. సమాధానం: 2/7

ఉదాహరణ 10. ఏ ప్రకటన సరైనది? (a) P(A) = 0.6, P(B) = 0.7 అయితే A, B పరస్పర వివర్జితం కావచ్చు. (b) స్వయంసిద్ధ విధానాన్ని లాప్లాస్ ఇచ్చారు. (c) ఎప్పుడూ P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B). (d) ధనాత్మక సంభావ్యతలు ఉన్న స్వతంత్ర ఘటనలు పరస్పర వివర్జితం. సాధన. (a) 0.6 + 0.7 > 1, అసాధ్యం. (b) కోల్మోగోరోవ్. (d) తప్పు. (c) P(A ∩ B) ≥ 0 కాబట్టి సంకలన సిద్ధాంతం నుంచి వస్తుంది. సమాధానం: (c)

తరచూ చేసే పొరపాట్లు

✗ "పరస్పర వివర్జిత ఘటనలు స్వతంత్రం." ✓ ధనాత్మక సంభావ్యతలు ఉంటే అవి ఆధారితం; P(A ∩ B) = 0 ≠ P(A)P(B).
✗ "అనుకూల నిష్పత్తి 3 : 5 అంటే P = 3/5." ✓ P = 3/(3 + 5) = 3/8.
✗ "ఎప్పుడూ P(A లేదా B) = P(A) + P(B)." ✓ పరస్పర వివర్జితం కాకపోతే P(A ∩ B) తీసివేయాలి.
✗ "స్వయంసిద్ధ నిర్వచనం వాన్ మిసెస్ ఇచ్చారు." ✓ కోల్మోగోరోవ్ (1933); వాన్ మిసెస్ సాపేక్ష పౌనఃపున్య విధానం ఇచ్చారు; లాప్లాస్ సాంప్రదాయ విధానం.
✗ "రెండు పాచికలకు 12 ఫలితాలు." ✓ 36 క్రమ ఫలితాలు.
✗ "బాగా జరిగే అవకాశం ఉన్న ఘటనకు సంభావ్యత 1.2 కావచ్చు." ✓ అది 0, 1 మధ్యే ఉంటుంది.
✗ "తిరిగి పెట్టకుండా తీస్తే రెండో తీతకు అదే సంభావ్యత." ✓ P(B | A) వాడాలి: కట్ట మారింది.

త్వరిత పునశ్చరణ

0 ≤ P(A) ≤ 1; P(A′) = 1 − P(A).
సాంప్రదాయ (లాప్లాస్): సమసంభవ ఫలితాలతో m/n.
సాపేక్ష పౌనఃపున్యం (వాన్ మిసెస్): m/n యొక్క అవధి.
స్వయంసిద్ధ (కోల్మోగోరోవ్ 1933): రుణేతరత, P(S) = 1, సంకలనీయత.
అనుకూల నిష్పత్తి a : b → P = a/(a + b).
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
స్వతంత్రం: P(A ∩ B) = P(A)P(B).
సాధారణం: P(A ∩ B) = P(A) P(B | A).
కనీసం ఒకటి = 1 − P(ఏదీ కాదు).
బేయీస్: అనంతర ∝ పూర్వ × సంభావ్యత ప్రమాణం (likelihood).

Medha AI writes its own notes and checks them against the sources listed. Medha AI is an independent preparation service. It is not affiliated with, endorsed by or connected to APPSC, TGPSC (formerly TSPSC), MPSC, UPSC or any other commission or government body.