APPSC Paper I · Statistics · Time series and index numbers
సూచిక సంఖ్యలు: రకాలు, పద్ధతులు (లాస్పెయిర్స్, పాషే, ఫిషర్, మార్షల్-ఎడ్జ్‌వర్త్), సమర్థతా పరీక్షలు
సూచిక సంఖ్య (index number) అనేది పరస్పర సంబంధం గల చరరాశుల సమూహంలో (ధరలు, పరిమాణాలు, విలువలు) ఆధార కాలం (= 100), ప్రస్తుత కాలం మధ్య వచ్చిన సాపేక్ష మార్పును కొలుస్తుంది; లాస్పెయిర్స్ (ఆధార సంవత్సర పరిమాణాలు), పాషే (ప్రస్తుత సంవత్సర పరిమాణాలు), ఫిషర్ (వాటి గుణ మధ్యమం) భారిత సూత్రాలను యూనిట్, టైమ్ రివర్సల్, ఫ్యాక్టర్ రివర్సల్, సర్క్యులర్ పరీక్షలతో అంచనా వేస్తారు.
- APPSC Paper I
- 10 నిమిషాల చదువు
- ఉచితం
- ఇంగ్లిష్‌లో చదవండి (English)
ముఖ్య వాస్తవాలు
- సూచిక సంఖ్యలను ఆర్థిక భారమితులు (economic barometers) అంటారు. ఆధార కాలం సూచిక = 100.
- సంకేతాలు: p₀, q₀ = ఆధార సంవత్సరం (base year) ధర, పరిమాణం; p₁, q₁ = ప్రస్తుత సంవత్సరం ధర, పరిమాణం. P₀₁ = ఆధారం 0 పై సంవత్సరం 1 ధరల సూచిక.
- రకాలు: ధరల సూచిక (price index), పరిమాణ (ఘనపరిమాణ) సూచిక (quantity index), విలువ సూచిక (value index) (Σp₁q₁ ÷ Σp₀q₀ × 100).
- సరళ సమష్టి సూచిక (simple aggregative): P₀₁ = Σp₁ ÷ Σp₀ × 100.
- ధర సాపేక్షం (price relative): R = p₁ ÷ p₀ × 100. సాపేక్షాల సరళ సగటు: ΣR ÷ n (AM) లేదా antilog (Σlog R ÷ n) (GM).
- లాస్పెయిర్స్ (Laspeyres): P₀₁ = Σp₁q₀ ÷ Σp₀q₀ × 100 (భారాలు = ఆధార సంవత్సర పరిమాణాలు).
- పాషే (Paasche): P₀₁ = Σp₁q₁ ÷ Σp₀q₁ × 100 (భారాలు = ప్రస్తుత సంవత్సర పరిమాణాలు).
- ఫిషర్ (Fisher): P₀₁ = √(లాస్పెయిర్స్ × పాషే) — L, P ల గుణ మధ్యమం (geometric mean); దీనిని ఆదర్శ సూచిక అంటారు.
- మార్షల్-ఎడ్జ్‌వర్త్ (Marshall-Edgeworth): P₀₁ = Σp₁(q₀ + q₁) ÷ Σp₀(q₀ + q₁) × 100 (భారాలు = రెండు సంవత్సరాల పరిమాణాల మొత్తం, అంటే సగటు).
- డోర్బిష్-బౌలీ (Dorbish-Bowley): (L + P) ÷ 2 — L, P ల అంకగణిత సగటు (arithmetic mean).
- కెల్లీ (Kelly, స్థిర భారం): Σp₁q ÷ Σp₀q × 100, q = ఎంచుకున్న ఏదో ఒక కాలపు స్థిర పరిమాణాలు.
- పరిమాణ సూచికలు: p, q లను పరస్పరం మార్చండి, ఉదా. లాస్పెయిర్స్ Q₀₁ = Σq₁p₀ ÷ Σq₀p₀ × 100.
- సమర్థతా పరీక్షలు (tests of adequacy, ఫిషర్):
- యూనిట్ పరీక్ష (unit test): కొలత యూనిట్లు మారినా సూచిక మారదు. సరళ సమష్టి సూచిక మాత్రమే విఫలమవుతుంది.
- టైమ్ రివర్సల్ పరీక్ష (time reversal test): P₀₁ × P₁₀ = 1. ఫిషర్, మార్షల్-ఎడ్జ్‌వర్త్, సరళ సమష్టి, సాపేక్షాల సరళ GM, కెల్లీ నెగ్గుతాయి. లాస్పెయిర్స్, పాషే, సాపేక్షాల సరళ AM విఫలమవుతాయి.
- ఫ్యాక్టర్ రివర్సల్ పరీక్ష (factor reversal test): P₀₁ × Q₀₁ = Σp₁q₁ ÷ Σp₀q₀ (విలువ నిష్పత్తి). ఫిషర్ మాత్రమే నెగ్గుతుంది.
- సర్క్యులర్ పరీక్ష (circular test): P₀₁ × P₁₂ × P₂₀ = 1. సాపేక్షాల సరళ GM, సరళ సమష్టి, కెల్లీ స్థిర భార సూచిక నెగ్గుతాయి; ఫిషర్ నెగ్గదు.
- ఫిషర్ సూచిక టైమ్ రివర్సల్, ఫ్యాక్టర్ రివర్సల్ పరీక్షలు నెగ్గుతుంది కాబట్టి "ఆదర్శ" సూచిక (అన్ని పరీక్షలు నెగ్గుతుందని కాదు).
- సూచిక సంఖ్యలకు సిద్ధాంతపరంగా ఉత్తమ సగటు గుణ మధ్యమం.
ఉదాహరణ 1. లాస్పెయిర్స్ సూచిక = 120, పాషే సూచిక = 118.75. ఫిషర్ సూచిక కనుగొనండి. సాధన. √(120 × 118.75) = √14,250. సమాధానం: 119.37 (సుమారు)
ఉదాహరణ 2. ఏ సూచిక ఫ్యాక్టర్ రివర్సల్ పరీక్షను సంతృప్తిపరుస్తుంది? (a) లాస్పెయిర్స్ (b) పాషే (c) మార్షల్-ఎడ్జ్‌వర్త్ (d) ఫిషర్ సాధన. ఫిషర్ సూత్రం మాత్రమే P₀₁ × Q₀₁ = విలువ నిష్పత్తి ఇస్తుంది. సమాధానం: (d)
వివరణ
1. సూచిక సంఖ్య నిర్మాణంలో సమస్యలు.
- ఉద్దేశం: అంశాలు, ధరలు, భారాలను నిర్ణయిస్తుంది (కార్మికుల సీపీఐ (CPI) చిల్లర ధరలు వాడుతుంది; డబ్ల్యూపీఐ (WPI) టోకు ధరలు వాడుతుంది).
- ఆధార కాలం: యుద్ధాలు, వరదలు, విజృంభణలు లేని సాధారణ సంవత్సరం; మరీ పాతది కాకూడదు. స్థిర ఆధారం లేదా గొలుసు ఆధారం.
- అంశాల ఎంపిక: ప్రాతినిధ్యం వహించేవి, ప్రామాణిక నాణ్యత గలవి, తగినన్ని.
- ధరల సేకరణ: టోకు లేదా చిల్లర, ప్రాతినిధ్య మార్కెట్ల నుంచి.
- సగటు ఎంపిక: AM సులభం; GM సమాన నిష్పత్తులకు సమాన ప్రాధాన్యం ఇస్తుంది, టైమ్ రివర్సల్ పరీక్ష నెగ్గుతుంది.
- భారాలు: పరిమాణ భారాలు (సమష్టి సూచికలు) లేదా విలువ భారాలు (సాపేక్షాలు); అంశాల ప్రాముఖ్యం వేర్వేరు కాబట్టి భారం ఇవ్వడం అవసరం.
2. సరళ (భారం లేని) సూచికలు, భారిత సూత్రాలు: ఒకే డేటా (data).
| అంశం | p₀, q₀ | p₁, q₁ | సాపేక్షం p₁/p₀ |
|---|---|---|---|
| A | 10, 4 | 12, 5 | 120 |
| B | 8, 10 | 10, 8 | 125 |
| C | 5, 6 | 6, 10 | 120 |
| D | 20, 2 | 22, 3 | 110 |
లబ్ధాలు:
| అంశం | p₀q₀ | p₁q₀ | p₀q₁, p₁q₁ |
|---|---|---|---|
| A | 40 | 48 | 50, 60 |
| B | 80 | 100 | 64, 80 |
| C | 30 | 36 | 50, 60 |
| D | 40 | 44 | 60, 66 |
| మొత్తం | 190 | 228 | 224, 266 |
ఉదాహరణ 3. సరళ సమష్టి సూచిక, సాపేక్షాల సరళ AM కనుగొనండి. సాధన. Σp₁ = 12 + 10 + 6 + 22 = 50; Σp₀ = 10 + 8 + 5 + 20 = 43. సరళ సమష్టి = 50 ÷ 43 × 100 = 116.28. సాపేక్షాల AM = (120 + 125 + 120 + 110) ÷ 4 = 475 ÷ 4 = 118.75. సమాధానం: 116.28, 118.75
ఉదాహరణ 4. లాస్పెయిర్స్, పాషే, ఫిషర్, మార్షల్-ఎడ్జ్‌వర్త్, డోర్బిష్-బౌలీ ధరల సూచికలు కనుగొనండి. సాధన.
- లాస్పెయిర్స్ = 228 ÷ 190 × 100 = 120.00
- పాషే = 266 ÷ 224 × 100 = 118.75
- ఫిషర్ = √(120 × 118.75) = 119.37
- మార్షల్-ఎడ్జ్‌వర్త్ = (228 + 266) ÷ (190 + 224) × 100 = 494 ÷ 414 × 100 = 119.32
- డోర్బిష్-బౌలీ = (120 + 118.75) ÷ 2 = 119.375
సమాధానం: L 120, P 118.75, F 119.37, M-E 119.32, D-B 119.38
3. సాపేక్షాల భారిత సగటు. P₀₁ = Σ(R × W) ÷ ΣW. విలువ భారాలు W = p₀q₀ తో ఇది సరిగ్గా లాస్పెయిర్స్ సూచికనే ఇస్తుంది: (120 × 40 + 125 × 80 + 120 × 30 + 110 × 40) ÷ 190 = 22,800 ÷ 190 = 120.
4. స్థిర ఆధారం, గొలుసు ఆధారం.
- స్థిర ఆధారం (fixed base): ప్రతి సంవత్సరాన్ని ఒకే ఆధార సంవత్సరంతో పోలుస్తారు.
- గొలుసు ఆధారం (chain base): ప్రతి సంవత్సరాన్ని గత సంవత్సరంతో పోలుస్తారు. లింక్ రిలేటివ్ (link relative) = ప్రస్తుత విలువ ÷ గత సంవత్సరం విలువ × 100; గొలుసు సూచిక = లింక్ రిలేటివ్ × గత గొలుసు సూచిక ÷ 100.
ఉదాహరణ 5. మూడు సంవత్సరాల లింక్ రిలేటివ్‌లు 110, 120, 90 (మొదటి సంవత్సరం ఆధారం = 100). గొలుసు సూచికలు కనుగొనండి. సాధన. సంవత్సరం 1: 110. సంవత్సరం 2: 120 × 110 ÷ 100 = 132. సంవత్సరం 3: 90 × 132 ÷ 100 = 118.8. సమాధానం: 110, 132, 118.8
| అంశం | స్థిర ఆధారం | గొలుసు ఆధారం |
|---|---|---|
| దేనితో పోలిక | ఒకే ఆధార సంవత్సరం | గత సంవత్సరం |
| కొత్త అంశాలు, భారాలు | చేర్చడం కష్టం | చేర్చడం సులభం |
| దీర్ఘకాలిక పోలిక | నేరుగా | గొలుసుగా కలపడం ద్వారా |
| దోషం | పేరుకుపోదు | పేరుకుపోవచ్చు |
5. సూచిక సంఖ్యల ఉపయోగాలు. ధరల స్థాయి, ద్రవ్యం విలువలో మార్పులను కొలుస్తాయి; విధానానికి మార్గదర్శనం చేస్తాయి (వేతనాలు, కరవు భత్యం, ద్రవ్య విధానం); ద్రవ్య విలువలను వాస్తవ విలువలుగా మారుస్తాయి (డిఫ్లేటింగ్); ఉత్పత్తి, వాణిజ్యం, వ్యాపారంలో ట్రెండ్‌లను చూపుతాయి; ప్రాంతాలను, కాలాలను పోలుస్తాయి.
లోతైన విశ్లేషణ
1. ఉదాహరణ 4 డేటాతో పరీక్షల సరిచూపు.
- లాస్పెయిర్స్‌కు టైమ్ రివర్సల్: P₀₁ = 228 ÷ 190 = 1.2; P₁₀ (సంవత్సరం 1 ఆధారంగా, దాని పరిమాణాలు q₁ భారాలుగా) = Σp₀q₁ ÷ Σp₁q₁ = 224 ÷ 266. లబ్ధం = 1.2 × 224 ÷ 266 = 1.0105 ≠ 1. విఫలం.
- ఫిషర్‌కు టైమ్ రివర్సల్: P₀₁ × P₁₀ = √(228/190 × 266/224) × √(224/266 × 190/228) = 1. నెగ్గుతుంది.
- ఫిషర్‌కు ఫ్యాక్టర్ రివర్సల్: పరిమాణ సూచికలు లాస్పెయిర్స్ Q = 224 ÷ 190 = 117.89, పాషే Q = 266 ÷ 228 = 116.67, ఫిషర్ Q = √(117.89 × 116.67) = 117.28. P₀₁ × Q₀₁ = 1.1937 × 1.1728 = 1.40 = 266 ÷ 190. నెగ్గుతుంది.
2. ఫిషర్‌కు ఫ్యాక్టర్ రివర్సల్ నిరూపణ సంక్షిప్తంగా. P₀₁ × Q₀₁ = √(Σp₁q₀/Σp₀q₀ × Σp₁q₁/Σp₀q₁) × √(Σq₁p₀/Σq₀p₀ × Σq₁p₁/Σq₀p₁) = √((Σp₁q₁)² ÷ (Σp₀q₀)²) = Σp₁q₁ ÷ Σp₀q₀.
3. పక్షపాతం (bias). లాస్పెయిర్స్ పాత పరిమాణాలను వాడుతుంది, ధరలు పెరిగిన వస్తువుల నుంచి వినియోగదారులు దూరమవడాన్ని పట్టించుకోదు, కాబట్టి ధరల పెరుగుదలను ఎక్కువగా చూపుతుంది (ఊర్ధ్వ పక్షపాతం); పాషే వాటిని తక్కువగా చూపుతుంది (అధో పక్షపాతం). ఫిషర్ వాటి మధ్యలో ఉంటుంది. ధరలు, పరిమాణాలు వ్యతిరేక దిశల్లో కదిలినప్పుడు ఇది వర్తిస్తుంది; ఇది గణిత నియమం కాదు, క్రమం తారుమారు కావచ్చు.
4. ఫిషర్ సూచిక పరిమితులు. ప్రతి సంవత్సరం ప్రస్తుత సంవత్సర పరిమాణాలు కావాలి (ఖర్చుతో కూడుకున్నది; అందుకే అధికారిక సీపీఐ, డబ్ల్యూపీఐలు లాస్పెయిర్స్ రకాన్ని వాడతాయి), లెక్కించడం, వివరించడం కష్టం, సర్క్యులర్ పరీక్షలో విఫలమవుతుంది.
| సూచిక | యూనిట్ | టైమ్ రివర్సల్ | ఫ్యాక్టర్ రివర్సల్ |
|---|---|---|---|
| సరళ సమష్టి | విఫలం | నెగ్గుతుంది | విఫలం |
| లాస్పెయిర్స్ / పాషే | నెగ్గుతుంది | విఫలం | విఫలం |
| మార్షల్-ఎడ్జ్‌వర్త్ | నెగ్గుతుంది | నెగ్గుతుంది | విఫలం |
| ఫిషర్ | నెగ్గుతుంది | నెగ్గుతుంది | నెగ్గుతుంది |
సర్క్యులర్ పరీక్ష: సరళ సమష్టి, సాపేక్షాల సరళ GM, కెల్లీ స్థిర భార సూచిక నెగ్గుతాయి; పైన ఉన్న నాలుగు భారిత సూచికలూ విఫలమవుతాయి.
ఉదాహరణ 6. Σp₀q₀ = 200, Σp₁q₀ = 250, Σp₀q₁ = 240, Σp₁q₁ = 300 అయితే లాస్పెయిర్స్, పాషే, ఫిషర్ సూచికలు కనుగొనండి. సాధన. L = 250 ÷ 200 × 100 = 125; P = 300 ÷ 240 × 100 = 125; F = √(125 × 125) = 125. సమాధానం: మూడూ 125 (L = P అయినప్పుడు ఫిషర్ రెండింటికీ సమానం)
తరచూ చేసే పొరపాట్లు
- ✗ "లాస్పెయిర్స్ ప్రస్తుత సంవత్సర పరిమాణాలు వాడుతుంది." ✓ లాస్పెయిర్స్ = ఆధార సంవత్సర (q₀); పాషే = ప్రస్తుత సంవత్సర (q₁).
- ✗ "ఫిషర్ సూచిక L, P ల అంకగణిత సగటు." ✓ అది గుణ మధ్యమం; AM అనేది డోర్బిష్-బౌలీ.
- ✗ "ఫిషర్ సూచిక అన్ని పరీక్షలు నెగ్గుతుంది." ✓ ఇది సర్క్యులర్ పరీక్షలో విఫలమవుతుంది; టైమ్ రివర్సల్, ఫ్యాక్టర్ రివర్సల్ నెగ్గడం వల్ల ఆదర్శం.
- ✗ "మార్షల్-ఎడ్జ్‌వర్త్ ఫ్యాక్టర్ రివర్సల్ పరీక్ష నెగ్గుతుంది." ✓ ఇది టైమ్ రివర్సల్ మాత్రమే నెగ్గుతుంది; ఫ్యాక్టర్ రివర్సల్ ఫిషర్ ఒక్కటే.
- ✗ "టైమ్ రివర్సల్ పరీక్ష: P₀₁ + P₁₀ = 1." ✓ లబ్ధం P₀₁ × P₁₀ = 1 (100 కారకం లేకుండా).
- ✗ "సరళ సమష్టి సూచిక యూనిట్ పరీక్ష నెగ్గుతుంది." ✓ ఇది విఫలమవుతుంది: కి.గ్రా.ను క్వింటాల్‌గా మారిస్తే ఫలితం మారుతుంది.
- ✗ "ఆధార సంవత్సర సూచిక = 1 లేదా 0." ✓ ఆధార సంవత్సర సూచిక = 100.
త్వరిత పునశ్చరణ
- లాస్పెయిర్స్ = Σp₁q₀/Σp₀q₀ × 100 (ఆధార పరిమాణాలు).
- పాషే = Σp₁q₁/Σp₀q₁ × 100 (ప్రస్తుత పరిమాణాలు).
- ఫిషర్ = √(L × P), ఆదర్శ సూచిక.
- మార్షల్-ఎడ్జ్‌వర్త్ = Σp₁(q₀ + q₁)/Σp₀(q₀ + q₁) × 100.
- డోర్బిష్-బౌలీ = (L + P)/2.
- యూనిట్ పరీక్ష: సరళ సమష్టి మాత్రమే విఫలం.
- టైమ్ రివర్సల్: P₀₁ × P₁₀ = 1 (ఫిషర్, M-E నెగ్గుతాయి; L, P విఫలం).
- ఫ్యాక్టర్ రివర్సల్: P₀₁ × Q₀₁ = Σp₁q₁/Σp₀q₀ (ఫిషర్ మాత్రమే).
- సర్క్యులర్ పరీక్ష: సరళ సమష్టి, సరళ GM, కెల్లీ నెగ్గుతాయి; ఫిషర్ విఫలం.
- గొలుసు సూచిక = లింక్ రిలేటివ్ × గత గొలుసు సూచిక ÷ 100.
ఈ అంశాన్ని ప్రాక్టీస్ చేయండి. Medha AI యాప్‌లో సమాధానాల వివరణతో ప్రశ్నలు.
అన్ని తెలుగు నోట్స్ · All Time series and index numbers notes · APPSC Paper I notes · ఉచితంగా మొదలుపెట్టండి
Medha AI writes its own notes and checks them against the sources listed. Medha AI is an independent preparation service. It is not affiliated with, endorsed by or connected to APPSC, TGPSC (formerly TSPSC), MPSC, UPSC or any other commission or government body.