APPSC Paper I · Statistics · Time series and index numbers

కాల శ్రేణి: అంశాలు, ట్రెండ్ కొలత (గ్రాఫ్, అర్ధ సగటులు, మూవింగ్ యావరేజ్‌లు, లీస్ట్ స్క్వేర్స్), కాలానుగుణ వైవిధ్యాలు

కాల శ్రేణి (time series) అంటే కాలక్రమంలో అమర్చిన డేటా; దాని కదలికను ట్రెండ్ (T), కాలానుగుణ (S), చక్రీయ (C), క్రమరహిత (I) భాగాలుగా విడదీస్తారు; ట్రెండ్‌ను గ్రాఫ్, అర్ధ సగటులు, మూవింగ్ యావరేజ్‌లు లేదా లీస్ట్ స్క్వేర్స్ పద్ధతితో కొలుస్తారు.

ముఖ్య వాస్తవాలు

  • కాల శ్రేణి: ఒక చరరాశి (variable) విలువలను వరుస కాల బిందువులు లేదా కాలాల వద్ద నమోదు చేసినవి (వార్షిక ఉత్పత్తి, నెలవారీ ధరలు, రోజువారీ అమ్మకాలు).
  • నాలుగు అంశాలు (components):
    1. లౌకిక ధోరణి (secular trend, T): సాఫీగా, దీర్ఘకాలంలో పెరుగుదల లేదా తగ్గుదల (జనాభా పెరుగుదల, తగ్గుతున్న మరణ రేటు).
    2. కాలానుగుణ వైవిధ్యాలు (seasonal variations, S): ఒక సంవత్సరం లోపల క్రమంగా పునరావృతమయ్యే నమూనా (వారానికి, నెలకు, త్రైమాసికానికి); శీతోష్ణస్థితి, పండుగలు, ఆచారాల వల్ల వస్తాయి.
    3. చక్రీయ వైవిధ్యాలు (cyclical variations, C): ఒక సంవత్సరం కంటే ఎక్కువ కాలంలో పైకీ కిందకీ ఊగిసలాటలు (వ్యాపార చక్రం (business cycle): సమృద్ధి, మాంద్యం, మహా మాంద్యం, పునరుద్ధరణ); కాలవ్యవధి స్థిరం కాదు.
    4. క్రమరహిత (యాదృచ్ఛిక, అనిశ్చిత) వైవిధ్యాలు (irregular variations, I): వరదలు, యుద్ధాలు, సమ్మెలు, అంటువ్యాధుల వంటి ఊహించలేని ప్రభావాలు.
  • సంకలన నమూనా (additive model): Y = T + S + C + I (అంశాలు స్వతంత్రం). గుణకార నమూనా (multiplicative model): Y = T × S × C × I (అంశాలు పరస్పర సంబంధం కలవి; ఎక్కువగా వాడేది).
  • ట్రెండ్ కొలిచే పద్ధతులు: (1) స్వేచ్ఛా హస్త / గ్రాఫ్ పద్ధతి, (2) అర్ధ సగటులు, (3) మూవింగ్ యావరేజ్‌లు (moving averages), (4) లీస్ట్ స్క్వేర్స్ (least squares) (ఎక్కువగా వాడేది, గణిత సమీకరణం ఇస్తుంది).
  • మూవింగ్ యావరేజ్ కాలవ్యవధి చక్రం కాలవ్యవధికి సమానంగా ఉండాలి; బేసి కాలవ్యవధి నేరుగా మధ్యలో వస్తుంది, సరి కాలవ్యవధిని 2-అంశాల మూవింగ్ యావరేజ్‌తో మళ్లీ కేంద్రీకరించాలి.
  • లీస్ట్ స్క్వేర్స్ సరళ రేఖ: Y = a + bX. సాధారణ సమీకరణాలు (normal equations): ΣY = na + bΣX, ΣXY = aΣX + bΣX².
  • ΣX = 0 అయ్యేలా X ను మధ్య నుంచి కొలిస్తే: a = ΣY / n, b = ΣXY / ΣX².
  • లీస్ట్ స్క్వేర్స్ రేఖ సగటుల గుండా వెళ్తుంది; Σ(Y − Yc) = 0, Σ(Y − Yc)² కనిష్ఠం.
  • కాలానుగుణ వైవిధ్యాలను కొలిచే పద్ధతులు: (1) సాధారణ సగటులు, (2) రేషియో-టు-ట్రెండ్, (3) నిష్పత్తి టు మూవింగ్ యావరేజ్ (ఎక్కువగా వాడేది), (4) లింక్ రిలేటివ్‌లు.
  • కాలానుగుణ సూచికల (seasonal indices) మొత్తం త్రైమాసికాలకు 400, నెలలకు 1,200 (సగటు 100).

ఉదాహరణ 1. ప్రతి సంవత్సరం జూన్–ఆగస్టులో గొడుగుల అమ్మకాలు పెరుగుతాయి. ఇది ఏ అంశం? సాధన. ఇది ప్రతి సంవత్సరం, సంవత్సరం లోపలే పునరావృతమవుతుంది. సమాధానం: కాలానుగుణ వైవిధ్యం

ఉదాహరణ 2. ΣY = 126, ΣXY = 84, ΣX² = 28 (X మధ్య సంవత్సరం నుంచి) అయినప్పుడు 7 సంవత్సరాలకు లీస్ట్ స్క్వేర్స్ పద్ధతిలో సరళ రేఖను అమర్చండి. a, b కనుగొనండి. సాధన. a = 126 ÷ 7 = 18; b = 84 ÷ 28 = 3. సమాధానం: Y = 18 + 3X

వివరణ

1. గ్రాఫ్ (స్వేచ్ఛా హస్త) పద్ధతి. డేటాను గ్రాఫ్‌పై గుర్తించి, హెచ్చుతగ్గుల మధ్య నుంచి సాఫీ రేఖ గీయండి. సులభం, సరళమైనది, కానీ వ్యక్తిగత అభిప్రాయంపై ఆధారపడుతుంది: ఇద్దరు వ్యక్తులు వేర్వేరు రేఖలు గీస్తారు, భవిష్యత్ అంచనాకు దీనిపై ఆధారపడలేం.

2. అర్ధ సగటుల పద్ధతి (semi-averages method). శ్రేణిని రెండు సమాన భాగాలుగా విభజించండి (సంవత్సరాల సంఖ్య బేసి అయితే మధ్య సంవత్సరాన్ని వదిలేయండి), ప్రతి భాగం సగటు కనుగొనండి, ప్రతి సగటును ఆ భాగం మధ్య బిందువు వద్ద గుర్తించి, రెండు బిందువులను కలపండి.

ఉదాహరణ 3. ఉత్పత్తి (వేల టన్నులు): 2018: 40, 2019: 44, 2020: 42, 2021: 48, 2022: 52, 2023: 50, 2024: 56, 2025: 60. అర్ధ సగటుల పద్ధతిలో ట్రెండ్ కనుగొని, 2026 అంచనా వేయండి. సాధన.

  • మొదటి సగం (2018–21): (40 + 44 + 42 + 48) ÷ 4 = 174 ÷ 4 = 43.5, 2019, 2020 మధ్యలో (2019.5) గుర్తిస్తారు.
  • రెండో సగం (2022–25): (52 + 50 + 56 + 60) ÷ 4 = 218 ÷ 4 = 54.5, 2023.5 వద్ద గుర్తిస్తారు.
  • వార్షిక మార్పు = (54.5 − 43.5) ÷ 4 = 2.75.
  • 2026 అనేది 2023.5 తర్వాత 2.5 సంవత్సరాలు: 54.5 + 2.5 × 2.75 = 61.375.

సమాధానం: ట్రెండ్ సంవత్సరానికి 2.75 పెరుగుతుంది; 2026 అంచనా సుమారు 61.4 వేల టన్నులు

గుణాలు: వస్తుగతం, సులభం. పరిమితులు: సరళ రేఖా ట్రెండ్‌ను ఊహిస్తుంది; అంకగణిత సగటు (arithmetic mean) తీవ్ర విలువలతో ప్రభావితమవుతుంది.

3. మూవింగ్ యావరేజ్ పద్ధతి (moving average). మొదటి m విలువల సగటు తీసుకోండి, తర్వాత మొదటిదాన్ని వదిలి తర్వాతి దాన్ని కలపండి, ఇలా కొనసాగించండి; ప్రతి సగటును దాని కాలవ్యవధి మధ్య వద్ద ఉంచండి.

ఉదాహరణ 4. 3-సంవత్సరాల మూవింగ్ యావరేజ్‌లు కనుగొనండి: 2019: 20, 2020: 24, 2021: 22, 2022: 26, 2023: 30, 2024: 28, 2025: 34. సాధన.

సంవత్సరంవిలువ3-సంవత్సరాల మొత్తం3-సంవత్సరాల MA
201920––
2020246622.00
2021227224.00
2022267826.00
2023308428.00
2024289230.67
202534––

సమాధానం: 2020–2024కు 22, 24, 26, 28, 30.67 (మొదటి, చివరి సంవత్సరాలకు ట్రెండ్ విలువలు ఉండవు)

ఉదాహరణ 5. ఉదాహరణ 3 లోని ఉత్పత్తి డేటాతో 4-సంవత్సరాల కేంద్రీకృత మూవింగ్ యావరేజ్‌లు కనుగొనండి. సాధన.

  • 4-సంవత్సరాల మొత్తాలు: 174, 186, 192, 206, 218; ఇవి 2019.5, 2020.5, 2021.5, 2022.5, 2023.5 వద్ద వస్తాయి.
  • వీటిని కేంద్రీకరించండి: మొత్తాలను జతలుగా కలిపి 8 తో భాగించండి.
    • 2020: (174 + 186) ÷ 8 = 45.00
    • 2021: (186 + 192) ÷ 8 = 47.25
    • 2022: (192 + 206) ÷ 8 = 49.75
    • 2023: (206 + 218) ÷ 8 = 53.00

సమాధానం: 2020–2023కు 45, 47.25, 49.75, 53 (ప్రతి చివర రెండు సంవత్సరాలు కోల్పోతాం)

గుణాలు: సులభం, సరళమైనది, కాలవ్యవధి చక్రానికి సమానమైతే చక్రీయ ఊగిసలాటలను తొలగిస్తుంది. పరిమితులు: ట్రెండ్ విలువలు రెండు చివర్లా కోల్పోతాం; సమీకరణం ఉండదు, కాబట్టి భవిష్యత్ అంచనా వేయలేం; కాలవ్యవధి ఎంపిక ముఖ్యం.

4. లీస్ట్ స్క్వేర్స్ పద్ధతి (సరళ రేఖ). వాస్తవ విలువలకు రేఖ నుంచి ఉన్న విచలనాల వర్గాల మొత్తం కనిష్ఠమయ్యే Y = a + bX రేఖను ఎంచుకోండి. ΣX = 0 అయ్యేలా మధ్య సంవత్సరాన్ని మూల బిందువుగా తీసుకోండి.

ఉదాహరణ 6. సరళ రేఖా ట్రెండ్‌ను అమర్చి, 2027 అంచనా వేయండి: 2019: 8, 2020: 13, 2021: 16, 2022: 17, 2023: 21, 2024: 24, 2025: 27. సాధన.

  • మూల బిందువు 2022, X = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3; ΣX = 0, ΣX² = 9 + 4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9 = 28.
  • ΣY = 126. ΣXY = −24 − 26 − 16 + 0 + 21 + 48 + 81 = 84.
  • a = 126 ÷ 7 = 18; b = 84 ÷ 28 = 3. ట్రెండ్: Y = 18 + 3X (మూల బిందువు 2022, X సంవత్సరాల్లో, Y డేటా యూనిట్లలో).
  • 2019–2025 ట్రెండ్ విలువలు: 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27.
  • 2027: X = 5, Y = 18 + 15 = 33.

సమాధానం: Y = 18 + 3X; 2027 అంచనా = 33

గుణాలు: వస్తుగతం, ప్రతి సంవత్సరానికి ట్రెండ్ ఇస్తుంది, అంచనాకు సూత్రం ఇస్తుంది. పరిమితులు: లెక్కలు ఎక్కువ; ఒక కొత్త సంవత్సరం కలిపితే అన్ని విలువలూ మారతాయి; ఎంచుకున్న వక్ర రకం (రేఖ, పరావలయం) డేటాకు సరిపోవాలి.

5. సాధారణ సగటుల ద్వారా కాలానుగుణ వైవిధ్యం. ప్రతి సీజన్‌కు అన్ని సంవత్సరాల సగటు తీసుకోండి; ప్రతి కాలానుగుణ సగటును కాలానుగుణ సగటుల మొత్తం సగటుతో (grand average) భాగించండి; 100 తో గుణించండి.

ఉదాహరణ 7. మూడు సంవత్సరాల త్రైమాసిక అమ్మకాలు (రూ. లక్షలు). కాలానుగుణ సూచికలు కనుగొనండి.

సంవత్సరంQ1Q2Q3Q4
202360485272
202464525878
202568566184

సాధన.

  • త్రైమాసిక సగటులు: Q1 = 192 ÷ 3 = 64; Q2 = 156 ÷ 3 = 52; Q3 = 171 ÷ 3 = 57; Q4 = 234 ÷ 3 = 78.
  • మొత్తం సగటు = (64 + 52 + 57 + 78) ÷ 4 = 251 ÷ 4 = 62.75.
  • సూచికలు: Q1 = 64 ÷ 62.75 × 100 = 101.99; Q2 = 82.87; Q3 = 90.84; Q4 = 124.30. మొత్తం = 400.

సమాధానం: 101.99, 82.87, 90.84, 124.30 (Q4 గరిష్ఠ సీజన్)

సాధారణ సగటుల పద్ధతి ట్రెండ్ లేదని ఊహిస్తుంది; డేటా కాలంతో పెరుగుతున్నప్పుడు (ఇక్కడ లాగా) తర్వాతి త్రైమాసికాలు ఎక్కువగా కనిపిస్తాయి, కాబట్టి ఇతర పద్ధతులకే ప్రాధాన్యం.

లోతైన విశ్లేషణ

1. లీస్ట్ స్క్వేర్స్‌లో సరి సంఖ్య సంవత్సరాలు. n సరి అయితే మధ్య సంవత్సరం ఉండదు. రెండు మధ్య సంవత్సరాల మధ్యలో మూల బిందువు తీసుకుని, X ను అర్ధ సంవత్సరాల్లో కొలవండి: ఆరు సంవత్సరాలకు X = −5, −3, −1, 1, 3, 5. అప్పుడు b అనేది అర్ధ సంవత్సరానికి మార్పు; వార్షిక మార్పు కోసం దాన్ని రెట్టింపు చేయండి.

ఉదాహరణ 8. సరళ రేఖను అమర్చండి: 2020: 30, 2021: 34, 2022: 37, 2023: 43, 2024: 47, 2025: 49. 2026 అంచనా వేయండి. సాధన.

  • మూల బిందువు 2022, 2023 మధ్య; X = −5, −3, −1, 1, 3, 5; ΣX² = 25 + 9 + 1 + 1 + 9 + 25 = 70.
  • ΣY = 240; ΣXY = −150 − 102 − 37 + 43 + 141 + 245 = 140.
  • a = 240 ÷ 6 = 40; b = 140 ÷ 70 = 2 (అర్ధ సంవత్సరానికి), కాబట్టి సంవత్సరానికి 4.
  • Y = 40 + 2X. 2026కు X = 7: Y = 40 + 14 = 54.

సమాధానం: Y = 40 + 2X (X అర్ధ సంవత్సరాల్లో); 2026 అంచనా = 54

2. రెండో తరగతి (పరావలయ) ట్రెండ్ (parabolic trend). Y = a + bX + cX². సాధారణ సమీకరణాలు:

  • ΣY = na + bΣX + cΣX²
  • ΣXY = aΣX + bΣX² + cΣX³
  • ΣX²Y = aΣX² + bΣX³ + cΣX⁴

ΣX = ΣX³ = 0 అయితే: ΣY = na + cΣX², ΣXY = bΣX², ΣX²Y = aΣX² + cΣX⁴.

ఉదాహరణ 9. 5 సంవత్సరాలకు పరావలయాన్ని అమర్చండి: 6, 7, 10, 15, 22 (X = −2, −1, 0, 1, 2). సాధన.

  • ΣX² = 10, ΣX⁴ = 16 + 1 + 0 + 1 + 16 = 34, ΣY = 60, ΣXY = −12 − 7 + 0 + 15 + 44 = 40, ΣX²Y = 24 + 7 + 0 + 15 + 88 = 134.
  • b = 40 ÷ 10 = 4.
  • 60 = 5a + 10c, 134 = 10a + 34c. మొదటిదాన్ని రెట్టింపు చేస్తే: 120 = 10a + 20c; తీసివేస్తే 14 = 14c, కాబట్టి c = 1, a = 10.

సమాధానం: Y = 10 + 4X + X²

3. ఇతర కాలానుగుణ పద్ధతులు.

  • రేషియో-టు-ట్రెండ్ పద్ధతి (ratio to trend method): ట్రెండ్‌ను (లీస్ట్ స్క్వేర్స్) అమర్చి, ప్రతి అసలు విలువను దాని ట్రెండ్ విలువలో శాతంగా రాయండి, ఈ శాతాలకు సీజన్ వారీగా సగటు తీసుకుని, మొత్తం 400 (లేదా 1,200) అయ్యేలా సర్దుబాటు చేయండి. ట్రెండ్‌ను తొలగిస్తుంది; చక్రాలను తొలగించదు.
  • నిష్పత్తి టు మూవింగ్ యావరేజ్ పద్ధతి (ratio to moving average method): 12-నెలల (లేదా 4-త్రైమాసికాల) కేంద్రీకృత మూవింగ్ యావరేజ్ లెక్కించండి (అందులో T, C ఉంటాయి), ప్రతి అసలు విలువను దానితో భాగించండి (S × I మిగులుతుంది), I ను తొలగించడానికి సీజన్ వారీగా సగటు తీసుకుని, సర్దుబాటు చేయండి. అత్యంత సంతృప్తికరమైనది, ఎక్కువగా వాడేది.
  • లింక్ రిలేటివ్ పద్ధతి (link relative method, పియర్సన్ పద్ధతి): లింక్ రిలేటివ్ = ప్రస్తుత సీజన్ ÷ గత సీజన్ × 100; వాటి సగటు తీసుకుని, గొలుసుగా కలిపి, ట్రెండ్‌కు సవరించి, సర్దుబాటు చేయండి. శ్రమతో కూడుకున్నది.

4. కాలానుగుణ ప్రభావం తొలగించడం (deseasonalising). గుణకార నమూనాలో, కాలానుగుణ ప్రభావం తొలగించిన విలువ = అసలు విలువ ÷ కాలానుగుణ సూచిక × 100. ఉదాహరణ: సూచిక 124.30 ఉన్న Q4 అమ్మకాలు 84 → 84 ÷ 1.2430 = 67.6 (సుమారు).

5. మూవింగ్ యావరేజ్ కాలవ్యవధి ఎంపిక. డేటాలో k సంవత్సరాల క్రమమైన చక్రం ఉంటే, k-సంవత్సరాల మూవింగ్ యావరేజ్ దాన్ని పూర్తిగా తొలగిస్తుంది; తప్పు కాలవ్యవధి తీసుకుంటే చక్రంలో కొంత భాగం ట్రెండ్‌లో మిగిలిపోతుంది.

పద్ధతిసమీకరణం?చివర్లు కోల్పోతామా?వస్తుగతమా?
స్వేచ్ఛా హస్తలేదులేదుకాదు
అర్ధ సగటులురేఖ మాత్రమేలేదుఅవును
మూవింగ్ యావరేజ్‌లులేదుఅవునుఅవును
లీస్ట్ స్క్వేర్స్అవునులేదుఅవును

తరచూ చేసే పొరపాట్లు

  • ✗ "వ్యాపార చక్రాలు ఒక సంవత్సరం లోపలే పునరావృతమవుతాయి." ✓ అది కాలానుగుణ వైవిధ్యం; చక్రాలు ఒక సంవత్సరం కంటే ఎక్కువ కాలం ఉంటాయి.
  • ✗ "4-సంవత్సరాల మూవింగ్ యావరేజ్‌ను 2వ సంవత్సరం ఎదురుగా ఉంచుతారు." ✓ అది రెండు సంవత్సరాల మధ్య వస్తుంది; దాన్ని మళ్లీ కేంద్రీకరించాలి.
  • ✗ "మూవింగ్ యావరేజ్‌లు ప్రతి సంవత్సరానికి ట్రెండ్ విలువలు ఇస్తాయి." ✓ విలువలు రెండు చివర్లా కోల్పోతాం.
  • ✗ "6 సంవత్సరాలకు X = −3 నుంచి 2 తీసుకుంటే ΣX = 0." ✓ −5, −3, −1, 1, 3, 5 (అర్ధ సంవత్సర యూనిట్లు) వాడండి, తర్వాత వార్షిక మార్పు కోసం b ను రెట్టింపు చేయండి.
  • ✗ "నాలుగు త్రైమాసికాల కాలానుగుణ సూచికల మొత్తం 100." ✓ మొత్తం 400 (నెలలకు 1,200).
  • ✗ "లీస్ట్ స్క్వేర్స్ విచలనాల మొత్తాన్ని కనిష్ఠం చేస్తుంది." ✓ ఇది వర్గాల విచలనాల మొత్తాన్ని కనిష్ఠం చేస్తుంది; సాధారణ మొత్తం సున్నా.
  • ✗ "బలమైన ట్రెండ్ ఉన్న డేటాకు సాధారణ సగటుల పద్ధతి పనిచేస్తుంది." ✓ ఇది ట్రెండ్ లేదని ఊహిస్తుంది; నిష్పత్తి టు మూవింగ్ యావరేజ్ వాడండి.

త్వరిత పునశ్చరణ

  • అంశాలు: ట్రెండ్, కాలానుగుణ (సంవత్సరం లోపల), చక్రీయ (సంవత్సరం దాటి), క్రమరహిత.
  • సంకలన Y = T + S + C + I; గుణకార Y = T × S × C × I.
  • ట్రెండ్ పద్ధతులు: స్వేచ్ఛా హస్త, అర్ధ సగటులు, మూవింగ్ యావరేజ్‌లు, లీస్ట్ స్క్వేర్స్.
  • అర్ధ సగటులు: రెండు భాగాలు, ప్రతి భాగం మధ్యలో సగటు.
  • సరి మూవింగ్ యావరేజ్ కాలవ్యవధి: మళ్లీ కేంద్రీకరించండి.
  • ΣX = 0 తో లీస్ట్ స్క్వేర్స్: a = ΣY/n, b = ΣXY/ΣX².
  • సరి n: X = …, −3, −1, 1, 3, …; వార్షిక మార్పు = 2b.
  • కాలానుగుణ పద్ధతులు: సాధారణ సగటులు, రేషియో-టు-ట్రెండ్, నిష్పత్తి టు మూవింగ్ యావరేజ్ (ఉత్తమం), లింక్ రిలేటివ్‌లు.
  • కాలానుగుణ సూచికల మొత్తం 400 (త్రైమాసికాలు) లేదా 1,200 (నెలలు).
  • కాలానుగుణ ప్రభావం తొలగించిన విలువ = అసలు ÷ కాలానుగుణ సూచిక × 100.

మూలాలు: Telugu Akademi, Statistics (B.A. / B.Com / B.Sc.): analysis of time series; S.P. Gupta, Statistical Methods (Sultan Chand), analysis of time series; S.C. Gupta and V.K. Kapoor, Fundamentals of Applied Statistics (Sultan Chand), time series; Croxton, Cowden and Klein, Applied General Statistics, time series chapters

చివరిగా సరిచూసిన తేదీ: 2026-10-21.

ఈ అంశాన్ని ప్రాక్టీస్ చేయండి. Medha AI యాప్‌లో సమాధానాల వివరణతో ప్రశ్నలు.

యాప్‌లో ప్రాక్టీస్ చేయండి ఇంగ్లిష్‌లో చదవండి

అన్ని తెలుగు నోట్స్ · All Time series and index numbers notes · APPSC Paper I notes · ఉచితంగా మొదలుపెట్టండి

Medha AI writes its own notes and checks them against the sources listed. Medha AI is an independent preparation service. It is not affiliated with, endorsed by or connected to APPSC, TGPSC (formerly TSPSC), MPSC, UPSC or any other commission or government body.